Um investidor está analisando três cenários distintos para um investimento que irá realizar, tendo como capital, \ 8.500$ para investir. Calcule o montante de cada um dos três cenários que serão analisados, a partir das seguintes taxas de juros compostos e prazos:
4,5 \% a.t. (ao trimestre), 18 meses.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Capital (principal): P=\$8.500 (peguei esse valor do enunciado).
  • Taxa de juros composta por período: 4,5\% ao trimestre (peguei do enunciado).
  • Prazo: 18 meses (peguei do enunciado).
  • O que pedir: calcular o montante M ao final dos 18 meses para essa taxa e capital.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e significado das letras:
  • A fórmula do montante em juros compostos é
M = P(1+i)^n,
onde:
  • M é o montante (o valor final que queremos),
  • P é o principal (capital inicial),
  • i é a taxa de juros por período (em forma decimal),
  • n é o número de períodos (quantas vezes a taxa é aplicada).
    Explicação curta: em juros compostos cada período o capital cresce multiplicando por (1+i); depois de n períodos multiplicamos P por (1+i) repetido n vezes, ou seja (1+i)^n.

Passo 3

Converter os dados para a fórmula:
  • Converter a taxa percentual para decimal:
i = 4{,}5\% = 0{,}045.
  • Converter o prazo em meses para número de trimestres (pois a taxa é ao trimestre):
18\\ \text{meses} = \frac{18}{3}=6\\ \text{trimestres},
logo n=6.

Passo 4

Substituir na fórmula:
M = 8500\,(1{,}045)^6.
Agora precisamos calcular (1{,}045)^6. Para fazer sem calculadora usamos o Teorema binomial (método prático para (1+a)^6):
(1+a)^6=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}a^k.
Aqui a=0{,}045. Os coeficientes binomiais \binom{6}{k} são 1,6,15,20,15,6,1. Vamos calcular termo a termo (mostro os cálculos para que você consiga refazer na prova):
Calcular as potências de a:
\begin{aligned} a &= 0{,}045,\\[4pt] a^2 &= 0{,}045^2 = 0{,}002025,\\[4pt] a^3 &= 0{,}045^3 = 0{,}000091125,\\[4pt] a^4 &= 0{,}045^4 = 0{,}000004100625,\\[4pt] a^5 &= 0{,}045^5 = 0{,}000000184528125,\\[4pt] a^6 &= 0{,}045^6 = 0{,}000000008303765625. \end{aligned}
Multiplicar cada potência pelo respectivo coeficiente:
\begin{aligned} \binom{6}{0}a^0 &= 1 \cdot 1 = 1,\\[4pt] \binom{6}{1}a^1 &= 6 \cdot 0{,}045 = 0{,}27,\\[4pt] \binom{6}{2}a^2 &= 15 \cdot 0{,}002025 = 0{,}030375,\\[4pt] \binom{6}{3}a^3 &= 20 \cdot 0{,}000091125 = 0{,}0018225,\\[4pt] \binom{6}{4}a^4 &= 15 \cdot 0{,}000004100625 = 0{,}000061509375,\\[4pt] \binom{6}{5}a^5 &= 6 \cdot 0{,}000000184528125 = 0{,}00000110716875,\\[4pt] \binom{6}{6}a^6 &= 1 \cdot 0{,}000000008303765625 = 0{,}000000008303765625. \end{aligned}
Somar todos os termos para obter (1{,}045)^6:
\begin{aligned} (1{,}045)^6 &= 1 + 0{,}27 + 0{,}030375 + 0{,}0018225 + 0{,}000061509375\\\ &\quad + 0{,}00000110716875 + 0{,}000000008303765625 \\\ &= 1{,}3022601248475156\\ \text{(aprox.)}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular o montante multiplicando por P e arredondar para centavos:
\begin{aligned} M &= 8500 \times 1{,}3022601248475156\\[4pt] &\approx 8500 \times 1{,}3022601248\\[4pt] &= 11.069{,}211060\\ \text{(aprox.)} \end{aligned}
Arredondando para duas casas decimais (centavos), o montante é \$11.069{,}21.]

Resposta

M=\$11.069{,}21

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