) Um sistema de 1 GDL possui uma frequência natural de
e um fator de amortecimento de
. As condições iniciais são 0 pol e 20 pol
. Determine a frequência natural amortecida em Hz e a expressão do movimento do sistema.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
- Frequência natural (não amortecida):
. - Fator de amortecimento:
, isto é . - Condições iniciais: deslocamento inicial
(o enunciado diz “0 pol”) e velocidade inicial (o enunciado diz “20 pol/s”). Vou usar exatamente esses valores como dados. - O que pedem:
- A frequência natural amortecida em Hz.
- A expressão do movimento
do sistema com essas condições iniciais.
Passo 2
Conceito importante (aula curta): para um sistema linear de 1 GDL com amortecimento proporcional, quando
(caso subamortecido) as raízes características são complexas e a resposta livre tem a forma de um sinal oscilatório amortecido. A frequência angular das oscilações amortecidas é dada por
Aqui
é a frequência natural (em rad/s) e
é o coeficiente de amortecimento adimensional. Essa fórmula vem de resolver a equação característica
e identificar a parte imaginária das raízes complexas.
Aplicando aos números dados:
Note que
, portanto
Passo 3
Conversão para Hz (explicando por que): a frequência em Hz é o número de ciclos por segundo; relaciona-se com a frequência angular por
. Então a frequência amortecida em Hz é
Se quisermos valor numérico, evaluate-se:
(Usei vírgula como separador decimal conforme o costume local.)
Passo 4
Forma geral da solução (aula prática): para o caso subamortecido a solução livre do deslocamento é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. A parte exponencial
é o decaimento (envelope) com taxa
, e os termos trigonométricos descrevem as oscilações com frequência angular
.
No nosso caso
, então o fator exponencial é
. Também já temos
.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais passo a passo para achar
e
.
- Em
:
Como
, temos
- Derivada geral (mostrando a conta): usando regra do produto e derivadas de cos/sen,
Agora avalio em
. Lembrando
,
,
, obtemos
Como já achamos
, isto se reduz a
Substituindo os valores numéricos e a forma exata de
:
Em forma decimal
.
Passo 6
Montando a solução final com os valores encontrados: como
e
, e com a taxa de decaimento
e
, a solução do movimento é
Se preferir em forma aproximada numérica: