\mathbf{5}^{\mathrm{a}} ) Um sistema de 1 GDL possui uma frequência natural de \boldsymbol{8} \mathrm{rad} / \mathrm{s} e um fator de amortecimento de 50 \%. As condições iniciais são 0 pol e 20 pol / \mathrm{s}. Determine a frequência natural amortecida em Hz e a expressão do movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Frequência natural (não amortecida): \omega_n = 8\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fator de amortecimento: 50\%, isto é \zeta = 0,5.
  • Condições iniciais: deslocamento inicial x(0)=0 (o enunciado diz “0 pol”) e velocidade inicial \dot x(0)=20 (o enunciado diz “20 pol/s”). Vou usar exatamente esses valores como dados.
  • O que pedem:
    1. A frequência natural amortecida em Hz.
    2. A expressão do movimento x(t) do sistema com essas condições iniciais.

Passo 2

Conceito importante (aula curta): para um sistema linear de 1 GDL com amortecimento proporcional, quando 0<\zeta<1 (caso subamortecido) as raízes características são complexas e a resposta livre tem a forma de um sinal oscilatório amortecido. A frequência angular das oscilações amortecidas é dada por
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Aqui \omega_n é a frequência natural (em rad/s) e \zeta é o coeficiente de amortecimento adimensional. Essa fórmula vem de resolver a equação característica \lambda^2+2\zeta\omega_n\lambda+\omega_n^2=0 e identificar a parte imaginária das raízes complexas.
Aplicando aos números dados:
\omega_d = 8\sqrt{1-(0,5)^2} = 8\sqrt{1-0,25} = 8\sqrt{0,75}.
Note que \sqrt{0,75}=\sqrt{3}/2, portanto
\omega_d = 8\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Conversão para Hz (explicando por que): a frequência em Hz é o número de ciclos por segundo; relaciona-se com a frequência angular por f=\omega/(2\pi). Então a frequência amortecida em Hz é
f_d=\frac{\omega_d}{2\pi}=\frac{4\sqrt{3}}{2\pi}=\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Se quisermos valor numérico, evaluate-se:
f_d \approx 1,1027\\ \mathrm{Hz}.
(Usei vírgula como separador decimal conforme o costume local.)

Passo 4

Forma geral da solução (aula prática): para o caso subamortecido a solução livre do deslocamento é
x(t)=e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. A parte exponencial e^{-\zeta\omega_n t} é o decaimento (envelope) com taxa \zeta\omega_n, e os termos trigonométricos descrevem as oscilações com frequência angular \omega_d.
No nosso caso \zeta\omega_n = 0,5\cdot 8 = 4, então o fator exponencial é e^{-4t}. Também já temos \omega_d=4\sqrt{3}.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais passo a passo para achar A e B.
  1. Em t=0:
x(0)=e^{0}\bigl(A\cos 0 + B\sin 0\bigr)=A.
Como x(0)=0, temos
A=0.
  1. Derivada geral (mostrando a conta): usando regra do produto e derivadas de cos/sen,
\dot x(t) = -\zeta\omega_n e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\bigr) + e^{-\zeta\omega_n t}\bigl(-A\omega_d\sin(\omega_d t)+B\omega_d\cos(\omega_d t)\bigr).
Agora avalio em t=0. Lembrando \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1, obtemos
\dot x(0) = -\zeta\omega_n A + B\omega_d.
Como já achamos A=0, isto se reduz a
\dot x(0)=B\omega_d \quad\Rightarrow\quad B=\frac{\dot x(0)}{\omega_d}.
Substituindo os valores numéricos e a forma exata de \omega_d:
B = \frac{20}{4\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}.
Em forma decimal B\approx 2,8868.

Passo 6

Montando a solução final com os valores encontrados: como A=0 e B=5/\sqrt{3}, e com a taxa de decaimento \zeta\omega_n=4 e \omega_d=4\sqrt{3}, a solução do movimento é
x(t)=\frac{5}{\sqrt{3}}\,e^{-4t}\sin\bigl(4\sqrt{3}\,t\bigr).
Se preferir em forma aproximada numérica:
x(t)\approx 2,8868\,e^{-4t}\sin\bigl(6,9282\,t\bigr).

Resposta

\displaystyle f_d=\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 1,1027\\ \mathrm{Hz}\n \displaystyle x(t)=\frac{5}{\sqrt{3}}\,e^{-4t}\sin\bigl(4\sqrt{3}\,t\bigr)

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