O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-36 e com 8 m de comprimento, medidos da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura da parede de 50 mm , qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e
são mancais. Dado:
. Resposta: {\delta=\mathbf{- 0 , 0 0 3 6 4 ~ m m}}
Passo 1
O enunciado pede a contração axial do eixo quando a hélice aplica uma força axial de
nele. Dados fornecidos (listei exatamente o que o enunciado dá):
Os apoios
e
são mancais (estão aí para suportar o eixo radialmente). A pergunta é: qual é a contração axial do eixo entre a hélice e o mancal de encosto
(trecho de comprimento
) devido à força de
?
Passo 2
Qual é a ideia física e a fórmula que vamos usar?
- Quando um eixo (ou qualquer barra) é carregado axialmente por uma força
, a resposta elástica (em regime linear) é dada pela lei de Hooke para tensão normal e deformação axial uniforme. A relação fundamental é:
onde
é a tensão média (N/mm
),
é a área da seção transversal (mm
),
é a deformação adimensional e
é o módulo de Young (N/mm
). A contração (variação de comprimento)
está relacionada com a deformação por
Combinando as fórmulas obtemos a expressão direta usada para calcular a deformação axial:
- Variáveis (para ficar claro):
-
: força axial (valor absoluto; se for compressão, o resultado será negativo para indicar contração). -
: comprimento da barra que se deforma. -
: área da seção transversal (no caso, área anular do eixo oco). -
: módulo de elasticidade do material.
-
- Observação de sinal: como a força é de comprimir o eixo, usarei sinal negativo para indicar contração final:
.
Passo 3
Calcular o diâmetro interno do eixo (usa-se
):
Passo 4
Calcular a área da seção transversal do eixo oco (área anular):
Substituindo:
Portanto
Se quiser um valor numérico aproximado (usando
):
Passo 5
Colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (N e mm):
(lembrando que
.)
Passo 6
Aplicar a fórmula da contração:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
Então
Arredondando adequadamente (dois a quatro algarismos significativos conforme resposta dada), obtemos
Passo 7
Interpretação e checagem rápida:
- O valor é negativo, o que indica contração (esperado, pois a hélice empurra o eixo para dentro — compressão).
- A ordem de grandeza (alguns micrômetros) faz sentido para um eixo maciço e curto com força de
e grande; portanto o resultado é plausível. - Se preferir em metros:
.