O navio é impulsionado pelo eixo da hélice, feito de aço A-36 e com 8 m de comprimento, medidos da hélice ao mancal de encosto D do motor. Se esse eixo tiver diâmetro externo de 400 mm e espessura da parede de 50 mm , qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 kN sobre ele? Os apoios B e C são mancais. Dado: E=200 \mathrm{GPa}. Resposta: {\delta=\mathbf{- 0 , 0 0 3 6 4 ~ m m}}

Passo 1

O enunciado pede a contração axial do eixo quando a hélice aplica uma força axial de 5\\ \mathrm{kN} nele. Dados fornecidos (listei exatamente o que o enunciado dá):
\begin{aligned} &\text{Comprimento entre hélice e mancal de encosto: } L = 8\\ \mathrm{m}.\\\ &\text{Diâmetro externo do eixo: } D_o = 400\\ \mathrm{mm}.\\\ &\text{Espessura da parede: } t = 50\\ \mathrm{mm}.\\\ &\text{Força axial aplicada pela hélice (compressiva): } P = 5\\ \mathrm{kN}.\\\ &\text{Módulo de elasticidade do aço A-36: } E = 200\\ \mathrm{GPa}. \end{aligned}éâçéóç
Os apoios B e C são mancais (estão aí para suportar o eixo radialmente). A pergunta é: qual é a contração axial do eixo entre a hélice e o mancal de encosto D (trecho de comprimento L) devido à força de 5\\ \mathrm{kN}?

Passo 2

Qual é a ideia física e a fórmula que vamos usar?
  • Quando um eixo (ou qualquer barra) é carregado axialmente por uma força P, a resposta elástica (em regime linear) é dada pela lei de Hooke para tensão normal e deformação axial uniforme. A relação fundamental é:
\text{tensão: }\sigma = \frac{P}{A}, \qquad \text{deformação: }\varepsilon = \frac{\sigma}{E}ãçã
onde \sigma é a tensão média (N/mm ^2), A é a área da seção transversal (mm ^2), \varepsilon é a deformação adimensional e E é o módulo de Young (N/mm ^2). A contração (variação de comprimento) \delta está relacionada com a deformação por
\delta = \varepsilon\,L.
Combinando as fórmulas obtemos a expressão direta usada para calcular a deformação axial:
\delta = \frac{P\,L}{A\,E}.
  • Variáveis (para ficar claro):
    • P: força axial (valor absoluto; se for compressão, o resultado será negativo para indicar contração).
    • L: comprimento da barra que se deforma.
    • A: área da seção transversal (no caso, área anular do eixo oco).
    • E: módulo de elasticidade do material.
  • Observação de sinal: como a força é de comprimir o eixo, usarei sinal negativo para indicar contração final: \delta = -\dfrac{P L}{A E}.

Passo 3

Calcular o diâmetro interno do eixo (usa-se D_i = D_o - 2t):
D_i = D_o - 2t = 400\\ \mathrm{mm} - 2\cdot 50\\ \mathrm{mm} = 300\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular a área da seção transversal do eixo oco (área anular):
A = \frac{\pi}{4}\left(D_o^2 - D_i^2\right).
Substituindo:
D_o^2 = 400^2 = 160\,000\\ \mathrm{mm}^2, \qquad D_i^2 = 300^2 = 90\,000\\ \mathrm{mm}^2,
D_o^2 - D_i^2 = 160\,000 - 90\,000 = 70\,000\\ \mathrm{mm}^2.
Portanto
A = \frac{\pi}{4}\cdot 70\,000 = 17\,500\pi\\ \mathrm{mm}^2.
Se quiser um valor numérico aproximado (usando \pi \approx 3{,}1416):
A \approx 17\,500\cdot 3{,}1416 = 54\,977{,}9\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (N e mm):
P = 5\\ \mathrm{kN} = 5\,000\\ \mathrm{N}, \qquad L = 8\\ \mathrm{m} = 8\,000\\ \mathrm{mm}, \qquad E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.
(lembrando que 1\\ \mathrm{GPa}=1{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2.)

Passo 6

Aplicar a fórmula da contração:
\delta = -\frac{P\,L}{A\,E}.
Substituindo os valores numéricos:
\delta = -\frac{5\,000\cdot 8\,000}{54\,977{,}9 \cdot 200\,000}\\ \mathrm{mm}.
Calcule o numerador e o denominador separadamente:
\text{numerador} = 5\,000\cdot 8\,000 = 40\,000\,000,
\text{denominador} = 54\,977{,}9\cdot 200\,000 \approx 10\,995\,580\,000.
Então
\delta \approx -\frac{40\,000\,000}{10\,995\,580\,000} \approx -0{,}003637\\ \mathrm{mm}.
Arredondando adequadamente (dois a quatro algarismos significativos conforme resposta dada), obtemos
\delta \approx -0{,}00364\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida:
  • O valor é negativo, o que indica contração (esperado, pois a hélice empurra o eixo para dentro — compressão).
  • A ordem de grandeza (alguns micrômetros) faz sentido para um eixo maciço e curto com força de 5\\ \mathrm{kN} e E grande; portanto o resultado é plausível.
  • Se preferir em metros: \delta \approx -3{,}64\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Resposta

-0{,}00364\\ \mathrm{mm}

Exercícios relacionados