) Um gráfico da resposta de um sistema de um grau de liberdade a um deslocamento inicial indica que, quando em um instante
, a amplitude é de
de seu valor inicial. Então, decorrido um tempo 8 s após
, o que corresponde a dois ciclos de movimento, a amplitude é de
do valor inicial. Calcule o coeficiente de amortecimento viscoso e o coeficiente de rigidez do sistema. Seja a massa do sistema igual a 4 kg .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens abaixo:
-
Dados fornecidos:
- Em um instante
a amplitude é do valor inicial: . - Oito segundos depois (ou seja, em
s), que correspondem a dois ciclos de movimento, a amplitude é do valor inicial: . - A massa do sistema é
. - O intervalo de
s corresponde a dois ciclos; portanto um ciclo tem s.
- Em um instante
-
Perguntas:
- Calcular o coeficiente de amortecimento viscoso
. - Calcular o coeficiente de rigidez
.
- Calcular o coeficiente de amortecimento viscoso
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
-
Para um sistema massa-mola-amortecedor subamortecido, a amplitude do movimento oscila com uma envoltória exponencial decay:onde:
-
é a amplitude em tempo , -
é a amplitude inicial, -
é o coeficiente adimensional de amortecimento (damping ratio), -
é a frequência natural não amortecida em rad/s.
Explicação: a parte oscilatória tem frequência, mas a amplitude máxima em cada ciclo decai como . Então as razões de amplitudes em dois instantes dependem somente do produto . -
-
Relação entre
(coeficiente de amortecimento viscoso) e : -
Relação entre rigidez
e frequência natural:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do enunciado.
Passo 3
Usando a decaída da envoltória entre
e
s:
A razão das amplitudes é
Pela lei exponencial,
Logo
Tomando logaritmo natural,
portanto
Calculemos numericamente:
Passo 4
Usando a informação de que 8 s correspondem a dois ciclos, temos o período do movimento amortecido
A frequência angular amortecida é
Relação conhecida entre
,
e
:
Passo 5
Agora combinamos as duas informações:
conhecido e
conhecido. Defina
Dividindo
por
obtemos
Chame
. Então
Elevando ao quadrado e resolvendo para
:
Logo
Calcule
:
Então
Passo 6
Agora obtemos
a partir de
:
Passo 7
Calcule o coeficiente de amortecimento viscoso
. Usando
e lembrando que
,
(Observe que aqui usamos diretamente
para simplificar o cálculo.)
Passo 8
Calcule o coeficiente de rigidez
pela relação
:
Passo 9
Resumo numérico (arredondando razoavelmente):
,
,
,
.
Se quiser, dá pra arredondar mais (por ex. e
).
Se quiser, dá pra arredondar mais (por ex.