4^{\text {a }} ) Um gráfico da resposta de um sistema de um grau de liberdade a um deslocamento inicial indica que, quando em um instante t_{0}, a amplitude é de 80 \% de seu valor inicial. Então, decorrido um tempo 8 s após t_{0}, o que corresponde a dois ciclos de movimento, a amplitude é de 10 \% do valor inicial. Calcule o coeficiente de amortecimento viscoso e o coeficiente de rigidez do sistema. Seja a massa do sistema igual a 4 kg .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Em um instante t_0 a amplitude é 80\% do valor inicial: A(t_0)=0{,}8\,A_0.
    • Oito segundos depois (ou seja, em t_0+8 s), que correspondem a dois ciclos de movimento, a amplitude é 10\% do valor inicial: A(t_0+8)=0{,}1\,A_0.
    • A massa do sistema é m=4\\ \mathrm{kg}.
    • O intervalo de 8 s corresponde a dois ciclos; portanto um ciclo tem 4 s.
  • Perguntas:
    1. Calcular o coeficiente de amortecimento viscoso c.
    2. Calcular o coeficiente de rigidez k.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Para um sistema massa-mola-amortecedor subamortecido, a amplitude do movimento oscila com uma envoltória exponencial decay:
    A(t)=A_0 e^{-\zeta \omega_n t},
    onde:
    • A(t) é a amplitude em tempo t,
    • A_0 é a amplitude inicial,
    • \zeta é o coeficiente adimensional de amortecimento (damping ratio),
    • \omega_n é a frequência natural não amortecida em rad/s.
    Explicação: a parte oscilatória tem frequência \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}, mas a amplitude máxima em cada ciclo decai como e^{-\zeta \omega_n t}. Então as razões de amplitudes em dois instantes dependem somente do produto \zeta\omega_n.
  • Relação entre c (coeficiente de amortecimento viscoso) e \zeta:
    \zeta=\frac{c}{2 m \omega_n}\quad\Longrightarrow\quad c=2 m \zeta \omega_n.
  • Relação entre rigidez k e frequência natural:
    \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\Longrightarrow\quad k=m\omega_n^2.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os números do enunciado.

Passo 3

Usando a decaída da envoltória entre t_0 e t_0+8 s:
A razão das amplitudes é
\frac{A(t_0+8)}{A(t_0)}=\frac{0{,}1\,A_0}{0{,}8\,A_0}=0{,}125.
Pela lei exponencial,
\frac{A(t_0+8)}{A(t_0)}=e^{-\zeta \omega_n\cdot 8}.
Logo
e^{-\zeta \omega_n\cdot 8}=0{,}125=\frac{1}{8}.
Tomando logaritmo natural,
-\zeta \omega_n\cdot 8=\ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)=-\ln 8,
portanto
\zeta \omega_n=\frac{\ln 8}{8}.
Calculemos numericamente:
\zeta \omega_n=\frac{\ln 8}{8}\approx 0{,}2599301927\\ \text{s}^{-1}.

Passo 4

Usando a informação de que 8 s correspondem a dois ciclos, temos o período do movimento amortecido
T_d=\frac{8\\ \text{s}}{2}=4\\ \text{s}.
A frequência angular amortecida é
\omega_d=\frac{2\pi}{T_d}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\\ \text{rad/s}\approx 1{,}5707963268\\ \text{rad/s}.
Relação conhecida entre \omega_d, \omega_n e \zeta:
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

Passo 5

Agora combinamos as duas informações: \zeta \omega_n conhecido e \omega_d conhecido. Defina
\alpha=\zeta \omega_n=\frac{\ln 8}{8}\quad\text{e}\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Dividindo \alpha por \omega_d obtemos
\frac{\zeta \omega_n}{\omega_d}=\frac{\alpha}{\omega_d}=\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}.
Chame a=\dfrac{\alpha}{\omega_d}. Então
\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=a.
Elevando ao quadrado e resolvendo para \zeta^2:
\frac{\zeta^2}{1-\zeta^2}=a^2\quad\Longrightarrow\quad \zeta^2=\frac{a^2}{1+a^2}.
Logo
\zeta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}.
Calcule a:
a=\frac{\alpha}{\omega_d}=\frac{0{,}2599301927}{1{,}5707963268}\approx 0{,}1655177440.
Então
\zeta=\frac{0{,}1655177440}{\sqrt{1+0{,}1655177440^2}}\approx 0{,}163334.

Passo 6

Agora obtemos \omega_n a partir de \alpha=\zeta\omega_n:
\omega_n=\frac{\alpha}{\zeta}=\frac{0{,}2599301927}{0{,}163334}\approx 1{,}5915494309\\ \text{rad/s}.

Passo 7

Calcule o coeficiente de amortecimento viscoso c. Usando c=2 m \zeta \omega_n e lembrando que \alpha=\zeta\omega_n,
c=2 m \alpha=2\cdot 4\cdot 0{,}2599301927=8\cdot 0{,}2599301927\approx 2{,}0794415417\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
(Observe que aqui usamos diretamente \alpha para simplificar o cálculo.)

Passo 8

Calcule o coeficiente de rigidez k pela relação k=m\omega_n^2:
k=4\cdot (1{,}5915494309)^2\approx 4\cdot 2{,}533028\approx 10{,}132112\\ \mathrm{N/m}.

Passo 9

Resumo numérico (arredondando razoavelmente): \zeta\approx 0{,}1633, \omega_n\approx 1{,}59155\\ \text{rad/s}, c\approx 2{,}07944\\ \mathrm{N\cdot s/m}, k\approx 10{,}1321\\ \mathrm{N/m}.
Se quiser, dá pra arredondar mais (por ex. c\approx 2{,}08\\ \mathrm{N\cdot s/m} e k\approx 10{,}13\\ \mathrm{N/m}).

Resposta

c\approx 2{,}07944\\ \mathrm{N\cdot s/m}
k\approx 10{,}1321\\ \mathrm{N/m}

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