( \mathbf{1 , 0} ponto) Construa o gráfico do MHS dado por:
X(t)=\pi \cos (t)

Passo 1

O enunciado pede para construir (desenhar) o gráfico da função dada.
Informação dada: a função é \displaystyle X(t)=\pi\cos(t).
Pergunta explícita: desenhar o gráfico (uma volta típica do movimento harmônico simples) dessa função em função de t.

Passo 2

Vamos entender o que cada pedaço da expressão significa (aqui eu te explico a “receita” para desenhar qualquer coisa do tipo). A forma geral mais simples que usamos é
X(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+B.
Expliquei cada símbolo:
  • A é a amplitude: o valor máximo absoluto que X(t) alcança (ou seja, o pico positivo tem valor A e o vale negativo tem valor -A se A>0).
  • \omega é a frequência angular: indica quão “espremida” a função está no eixo t.
  • \varphi é a fase inicial: desloca a curva para a direita ou para a esquerda.
  • B é deslocamento vertical (zero se não houver).
    Fórmulas úteis:
\text{Amplitude } A = |A|,\qquad \text{Período } T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad \text{Frequência } f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.íê
Sempre que desenhar, marque no eixo vertical \pm A e no eixo horizontal os pontos 0,\;\frac{T}{4},\;\frac{T}{2},\;\frac{3T}{4},\;T (esses são os pontos chave onde cosseno toma valores 1,0,-1,0,1).

Passo 3

Identificando os parâmetros na nossa função \displaystyle X(t)=\pi\cos(t):
A=\pi,\qquad \omega=1,\qquad \varphi=0,\qquad B=0.
Agora aplicamos as fórmulas do passo anterior:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1}=2\pi, \qquad f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}.
Isso significa que a curva repete a cada intervalo de \displaystyle 2\pi em t.

Passo 4

Calculemos os valores da função em pontos-chave da primeira volta [0,2\pi]. Lembre que \cos(0)=1,\;\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0,\;\cos(\pi)=-1,\;\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,\;\cos(2\pi)=1.
\begin{aligned} X(0)&=\pi\cos(0)=\pi\cdot1=\pi,\\[4pt] X\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)&=\pi\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\pi\cdot0=0,\\[4pt] X(\pi)&=\pi\cos(\pi)=\pi\cdot(-1)=-\pi,\\[4pt] X\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)&=\pi\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=0,\\[4pt] X(2\pi)&=\pi\cos(2\pi)=\pi. \end{aligned}
Esses cinco pontos são suficientes para desenhar uma volta suave do cosseno escalado.]

Passo 5

Determine máximos, mínimos e zeros para te orientar no desenho:
  • Máximos: ocorrem quando \cos(t)=1, isto é para t=2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Valor máximo é X_{\max}=\pi.
  • Mínimos: ocorrem quando \cos(t)=-1, isto é para t=\pi+2\pi k. Valor mínimo é X_{\min}=-\pi.
  • Zeros: ocorrem quando \cos(t)=0, isto é para t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Nesses pontos X(t)=0.
    Use esses eventos para posicionar cristas, vales e cruzamentos do eixo.

Passo 6

Passo a passo prático para desenhar à mão (fazendo direitinho no caderno):
  1. Desenha dois eixos perpendiculares: eixo horizontal t, eixo vertical X.
  2. Marca no eixo vertical os pontos +\pi e -\pi (amplitude). Se quiser, transforme \pi\approx3,14 para facilitar o traço; mas é melhor manter como \pi.
  3. Marca no eixo horizontal os pontos 0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2},\;2\pi. Coloca também -\tfrac{\pi}{2},\;- \pi se for desenhar para t<0.
  4. Plota os pontos calculados no Passo 4: (0,\pi),\;(\tfrac{\pi}{2},0),\;(\pi,-\pi),\;(\tfrac{3\pi}{2},0),\;(2\pi,\pi).
  5. Liga os pontos com uma curva suave e ondulada: comece no (0,\pi) com inclinação zero (cosseno tem derivada zero no pico), desce até cruzar no \tfrac{\pi}{2}, atinge mínimo em (\pi,-\pi), sobe e volta ao (2\pi,\pi). Repete esse padrão para frente e para trás.
    Dica: o cosseno é simétrico em relação ao eixo vertical passando pelo pico, então o trecho entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2} é espelhado.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se em vez de \pi fosse 2, ou seja X(t)=2\cos(t), você repetiria o mesmo processo trocando amplitude por 2. Percebe como é só uma escala vertical? Isso te ajuda a não se perder na prova: identifique amplitude e período e marque os cinco pontos-chave.

Resposta

Amplitude A=\pi
Período T=2\pi (logo pontos-chave em 0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi)
Pontos-chave: (0,\pi),\;(\tfrac{\pi}{2},0),\;(\pi,-\pi),\;(\tfrac{3\pi}{2},0),\;(2\pi,\pi)
Máximos em t=2\pi k com X=\pi; mínimos em t=\pi+2\pi k com X=-\pi; zeros em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi.

Exercícios relacionados