( \mathbf{0 , 4} ponto) Uma máquina de Carnot possui rendimento de 19,50 \%. Se a fonte fria é de aproximadamente 15^{\circ} \mathrm{C}, qual a temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) da fonte quente?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Rendimento da máquina de Carnot: \eta = 19,50\%.
  • Temperatura da fonte fria: 15^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual é a temperatura da fonte quente, em ^{\circ}\mathrm{C}?

Passo 2

Fórmula fundamental que relaciona rendimento de uma máquina de Carnot com as temperaturas das fontes (em Kelvin):
\eta = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}}
onde:
  • \eta é o rendimento (adimensional, por exemplo 0,195 para 19{,}5\%);
  • T_{c} é a temperatura da fonte fria em Kelvin;
  • T_{h} é a temperatura da fonte quente em Kelvin.
Explicação rápida: essa fórmula vem da definição do rendimento máximo para ciclos reversíveis entre duas temperaturas; o ponto importante aqui é que as temperaturas devem estar na escala absoluta (Kelvin).

Passo 3

Converter a temperatura dada em graus Celsius para Kelvin. A relação é
T(\text{K}) = T(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
Assim, a temperatura fria em Kelvin é
T_{c} = 15^{\circ}\mathrm{C} + 273{,}15 = 288{,}15\\ \text{K}.

Passo 4

Isolar T_{h} na fórmula do rendimento. Partindo de
\eta = 1 - \frac{T_{c}}{T_{h}},
fazendo as operações algébricas:
\frac{T_{c}}{T_{h}} = 1 - \eta
T_{h} = \frac{T_{c}}{1 - \eta}.
Cada passo: subtrai-se \eta em ambos os lados, inverte-se a fração para obter T_{h}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (atenção: converter a porcentagem para número): \eta = 19{,}50\% = 0{,}195 e T_{c}=288{,}15\\ \text{K}. Então
T_{h} = \frac{288{,}15}{1 - 0{,}195} = \frac{288{,}15}{0{,}805}.

Passo 6

Calcular a divisão manualmente (mostrando o raciocínio):
\frac{288{,}15}{0{,}805}\approx 357{,}9497\\ \text{K}.
Converter para Celsius usando T(^{\circ}\mathrm{C}) = T(\text{K}) - 273{,}15:
T_{h} = 357{,}9497 - 273{,}15 \approx 84{,}7997\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando de forma sensata (duas casas decimais) obtém-se 84{,}80\\ ^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Resumo do raciocínio (curto e encorajador): converteu-se a temperatura fria para Kelvin, aplicou-se a fórmula do rendimento de Carnot isolando T_{h}, substituiu-se os valores e converteu-se de volta para Celsius. Feito — deu um número razoável (temperatura quente na faixa de dezenas de graus Celsius), que faz sentido fisicamente.

Resposta

84{,}80\\ ^{\circ}\mathrm{C}

Exercícios relacionados