Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A parte da parábola x=y^{2} ligando (1,-1) e (1,1), orientada de baixo para cima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar equações paramétricas da parte da parábola x=y^{2} que liga os pontos (1,-1) e (1,1), com orientação de baixo para cima. Informações dadas:
  • A curva é a parábola definida por x=y^{2}.
  • Queremos apenas a parte dessa parábola entre os pontos (1,-1) e (1,1).
  • A orientação exigida é de baixo para cima (isto é, parte começa em y=-1 e termina em y=1).

Passo 2

O que é uma parametrização? Vou explicar bem devagar: uma parametrização é uma maneira de descrever uma curva usando um parâmetro (costumo chamar de t). Em vez de escrever a curva como uma relação entre x e y (aqui x=y^{2}), escrevemos cada coordenada como função de t:
x = x(t),\qquad y = y(t),
onde t varia num intervalo [a,b]. Ao variar t de a até b, o par (x(t),y(t)) vai percorrer a curva. A orientação da curva é dada pelo sentido em que t aumenta.

Passo 3

Uma escolha natural aqui é usar y como próprio parâmetro. Ou seja, definir
t = y.
Isso é permitido porque para a parte da parábola que nos interessa cada valor de y corresponde a exatamente um ponto da curva (a parábola é função de y para x). Com t=y, a relação x=y^{2} vira
x = t^{2},\qquad y = t.
Agora precisamos escolher o intervalo de t que corresponde exatamente à parte entre (1,-1) e (1,1). Como y vai de -1 até 1 seguindo a orientação de baixo para cima, escolhemos
t\in[-1,1].

Passo 4

Escrevendo a parametrização completa:
x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t,\qquad t\in[-1,1].
Esta é simples e direta. Vou explicar por que ela satisfaz exatamente o pedido.

Passo 5

Verificações importantes (passo a passo, para você poder reproduzir na prova):
  1. Pertence à parábola: substituindo y(t)=t em x=y^{2} obtemos x(t)=t^{2}. Logo todos os pontos (x(t),y(t)) satisfazem x=y^{2}.
  2. Endpoints: para t=-1 temos
x(-1)=(-1)^{2}=1,\qquad y(-1)=-1,
ou seja (1,-1). Para t=1 temos
x(1)=1^{2}=1,\qquad y(1)=1,
ou seja (1,1). Portanto o intervalo t\in[-1,1] dá exatamente os extremos corretos.
  1. Orientação: conforme t aumenta de -1 para 1, y(t)=t aumenta (vai de -1 para 1), então a curva é percorrida de baixo para cima — exatamente a orientação pedida.

Passo 6

Intuição geométrica e tabela de pontos (útil em prova para conferir sem gráfico): calcule alguns pontos para ver o caminho que o parâmetro descreve.
\begin{array}{c|c|c} t & x(t)=t^{2} & y(t)=t\\hline -1 & 1 & -1\\\\ -0{,}5 & 0{,}25 & -0{,}5\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}5\\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}
Essa tabela mostra claramente que o parâmetro começa em (1,-1), vai em direção ao vértice (0,0) e sobe até (1,1). Note que a curva é a “ramificação” da parábola vista como função x(y)=y^{2}.

Passo 7

Derivada e vetor tangente (útil se te pedirem orientação ou velocidade): as derivadas são
x'(t)=2t,\qquad y'(t)=1.
O vetor tangente é (2t,1). Em particular, y'(t)=1>0 para todo t, confirmando que y cresce sempre com t — daí a orientação de baixo para cima.

Passo 8

Como conferir graficamente (duas sugestões fáceis que você pode usar rápido no PC ou celular):
  • Desmos (rápido e sem instalar nada): na barra de entrada digite
\bigl(t^{2},\,t\bigr),\\ t\in[-1,1].
Isso desenha a curva paramétrica do parâmetro t indo de -1 a 1. Vai aparecer a parte da parábola entre (1,-1) e (1,1), percorrida de baixo para cima.
  • Python + Matplotlib (se preferir código; cole num ambiente que execute Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(-1, 1, 201)
x = t**2
y = t

plt.figure()
plt.plot(x, y, '-b')           # curva
plt.plot([1,1], [-1,1], 'ro')  # pontos extremos (só para conferir)
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Parametrização: x=t^2, y=t, t in [-1,1]')
plt.show()
Esse gráfico vai mostrar exatamente a mesma curva e permitirá visualizar a orientação se você animar ou marcar os pontos em ordem crescente de t.

Passo 9

Comentário sobre parametrizações alternativas (bom saber para a prova): outra opção é reparametrizar por um novo parâmetro s que rode de 0 a 1, usando t=2s-1. Assim
x(s)=(2s-1)^{2},\qquad y(s)=2s-1,\qquad s\in[0,1].
Isso produz a mesma parte da curva e a mesma orientação, mas às vezes em prova os professores pedem parâmetros num intervalo específico — aí essa mudança é útil. Mas a escolha mais direta e curta continua sendo x(t)=t^{2},\,y(t)=t,\,t\in[-1,1].

Resposta

x(t)=t^{2},\qquad y(t)=t,\qquad t\in[-1,1]

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