Encontre as equações paramétricas da curva e confira seu trabalho gerando a curva com um recurso gráfico.
A parte da parábola
ligando
e
, orientada de baixo para cima.
A parte da parábola
Passo 1
O enunciado pede para encontrar equações paramétricas da parte da parábola
que liga os pontos
e
, com orientação de baixo para cima. Informações dadas:
- A curva é a parábola definida por
. - Queremos apenas a parte dessa parábola entre os pontos
e . - A orientação exigida é de baixo para cima (isto é, parte começa em
e termina em ).
Passo 2
O que é uma parametrização? Vou explicar bem devagar: uma parametrização é uma maneira de descrever uma curva usando um parâmetro (costumo chamar de
). Em vez de escrever a curva como uma relação entre
e
(aqui
), escrevemos cada coordenada como função de
:
onde
varia num intervalo
. Ao variar
de
até
, o par
vai percorrer a curva. A orientação da curva é dada pelo sentido em que
aumenta.
Passo 3
Uma escolha natural aqui é usar
como próprio parâmetro. Ou seja, definir
Isso é permitido porque para a parte da parábola que nos interessa cada valor de
corresponde a exatamente um ponto da curva (a parábola é função de
para
). Com
, a relação
vira
Agora precisamos escolher o intervalo de
que corresponde exatamente à parte entre
e
. Como
vai de
até
seguindo a orientação de baixo para cima, escolhemos
Passo 4
Escrevendo a parametrização completa:
Esta é simples e direta. Vou explicar por que ela satisfaz exatamente o pedido.
Passo 5
Verificações importantes (passo a passo, para você poder reproduzir na prova):
-
Pertence à parábola: substituindo
em obtemos . Logo todos os pontos satisfazem . -
Endpoints: para
temos
ou seja
. Para
temos
ou seja
. Portanto o intervalo
dá exatamente os extremos corretos.
- Orientação: conforme
aumenta de para , aumenta (vai de para ), então a curva é percorrida de baixo para cima — exatamente a orientação pedida.
Passo 6
Intuição geométrica e tabela de pontos (útil em prova para conferir sem gráfico): calcule alguns pontos para ver o caminho que o parâmetro descreve.
Essa tabela mostra claramente que o parâmetro começa em
, vai em direção ao vértice
e sobe até
. Note que a curva é a “ramificação” da parábola vista como função
.
Passo 7
Derivada e vetor tangente (útil se te pedirem orientação ou velocidade): as derivadas são
O vetor tangente é
. Em particular,
para todo
, confirmando que
cresce sempre com
— daí a orientação de baixo para cima.
Passo 8
Como conferir graficamente (duas sugestões fáceis que você pode usar rápido no PC ou celular):
- Desmos (rápido e sem instalar nada): na barra de entrada digite
Isso desenha a curva paramétrica do parâmetro
indo de
a
. Vai aparecer a parte da parábola entre
e
, percorrida de baixo para cima.
- Python + Matplotlib (se preferir código; cole num ambiente que execute Python):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(-1, 1, 201)
x = t**2
y = t
plt.figure()
plt.plot(x, y, '-b') # curva
plt.plot([1,1], [-1,1], 'ro') # pontos extremos (só para conferir)
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Parametrização: x=t^2, y=t, t in [-1,1]')
plt.show()
Esse gráfico vai mostrar exatamente a mesma curva e permitirá visualizar a orientação se você animar ou marcar os pontos em ordem crescente de
.
Passo 9
Comentário sobre parametrizações alternativas (bom saber para a prova): outra opção é reparametrizar por um novo parâmetro
que rode de
a
, usando
. Assim
Isso produz a mesma parte da curva e a mesma orientação, mas às vezes em prova os professores pedem parâmetros num intervalo específico — aí essa mudança é útil. Mas a escolha mais direta e curta continua sendo
.