N 3
Ponto) Um vaso de pressão esférico de
de diâmetro interno será fabricado com aço que possui tensão última de 450 MPa . Sabe-se que a pressão interna pode chegar a 6 MPa . Determinar a menor espessura de parede possivel considerando um coeficiente de segurança de 1.5 .
Passo 1
O enunciado pede para determinar a menor espessura de parede possível de um vaso de pressão esférico, dadas certas propriedades do aço e da pressão interna. Informações fornecidas (vou listar tudo claramente):
- Diâmetro interno:
. - Logo, raio interno:
. - Pressão interna máxima:
. - Tensão última do aço:
. - Coeficiente de segurança:
.
O que se pede: calcular a menor espessura de parede
que garanta segurança, ou seja, tal que a tensão no material não ultrapasse a tensão admissível (tensão última dividida pelo coeficiente de segurança).
Passo 2
Escolha do método e a fórmula que vamos usar (explicando por que): como o vaso é esférico e a espessura provavelmente pequena em relação ao raio (caso típico), usaremos a hipótese de casca fina para esfera. Para uma casca esférica submetida à pressão interna, a tensão métrica (membrana) é a mesma em todas as direções e obtém-se a relação clássica:
onde:
-
é a tensão no material (magnitute da tensão de tração que aparece na espessura); -
é a pressão interna (mesmas unidades que ); -
é o raio interno da esfera; -
é a espessura da parede.
Vou mostrar de forma didática de onde vem essa fórmula (passo a passo físico):
- Corte a esfera ao meio e considere a metade superior. A pressão interna age sobre a área projetada circular da metade, de área
, gerando uma força total para baixo igual a . - Essa força é equilibrada pelas forças de tensão ao longo do anel de corte: a tensão
age na área de seção formada pela espessura ao longo da circunferência do corte, cuja área é . A resultante dessa força de tração é . - Em equilíbrio estático temos
, isto é:
- Simplificando
dos dois lados obtemos .
Observação importante sobre validade: essa dedução assume que a parede é fina (espessura pequena comparada ao raio) de modo que as tensões através da espessura sejam aproximadamente uniformes. Depois que calcularmos
vamos verificar essa condição.
Passo 3
Determinar a tensão admissível (o que o material pode “aguentar” contando o coeficiente de segurança). A tensão admissível
é:
Substituindo os valores dados:
Explicando: dividimos a resistência última pela segurança para garantir uma margem; agora devemos exigir que a tensão gerada pela pressão seja menor ou igual a esse valor admissível.
Passo 4
Isolar
na fórmula
. Queremos
que satisfaça
, então:
Agora substituímos os valores numéricos. Atenção às unidades: usamos
e
ambos em
(unidades compatíveis), e
em metros; o resultado
sai em metros.
Calcule passo a passo:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo
Passo 5
Converter para milímetros e verificar a hipótese de casca fina:
Verificação da condição de casca fina (regra prática:
ou pelo menos
):
ou seja,
é muito menor que
(na verdade
), então a aproximação de casca fina é totalmente válida. Portanto o cálculo está consistente.
Passo 6
Comentário prático e incentivo (rápido): esse é o valor mínimo teórico considerando apenas resistência última e coeficiente de segurança. Na prática normalmente escolhe-se uma espessura comercial padrão acima desse valor e podem-se considerar também fatores como corrosão, soldagem, tolerâncias e inspeção. Mas para a prova, o resultado calculado é o que você precisa apresentar.