N 3 )(\mathbf{1 , 0} Ponto) Um vaso de pressão esférico de 2,4 \mathrm{~m} de diâmetro interno será fabricado com aço que possui tensão última de 450 MPa . Sabe-se que a pressão interna pode chegar a 6 MPa . Determinar a menor espessura de parede possivel considerando um coeficiente de segurança de 1.5 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a menor espessura de parede possível de um vaso de pressão esférico, dadas certas propriedades do aço e da pressão interna. Informações fornecidas (vou listar tudo claramente):
  • Diâmetro interno: D=2,4\\ \mathrm{m}.
  • Logo, raio interno: r=\dfrac{D}{2}=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Pressão interna máxima: p=6\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão última do aço: \sigma_\text{ult}=450\\ \mathrm{MPa}.
  • Coeficiente de segurança: N_s=1{,}5.
O que se pede: calcular a menor espessura de parede t que garanta segurança, ou seja, tal que a tensão no material não ultrapasse a tensão admissível (tensão última dividida pelo coeficiente de segurança).

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que vamos usar (explicando por que): como o vaso é esférico e a espessura provavelmente pequena em relação ao raio (caso típico), usaremos a hipótese de casca fina para esfera. Para uma casca esférica submetida à pressão interna, a tensão métrica (membrana) é a mesma em todas as direções e obtém-se a relação clássica:
\sigma = \frac{p\,r}{2\,t},
onde:
  • \sigma é a tensão no material (magnitute da tensão de tração que aparece na espessura);
  • p é a pressão interna (mesmas unidades que \sigma);
  • r é o raio interno da esfera;
  • t é a espessura da parede.
Vou mostrar de forma didática de onde vem essa fórmula (passo a passo físico):
  1. Corte a esfera ao meio e considere a metade superior. A pressão interna age sobre a área projetada circular da metade, de área \pi r^2, gerando uma força total para baixo igual a F_p = p\cdot \pi r^2.
  2. Essa força é equilibrada pelas forças de tensão ao longo do anel de corte: a tensão \sigma age na área de seção formada pela espessura ao longo da circunferência do corte, cuja área é A_\text{corte}=2\pi r\,t. A resultante dessa força de tração é F_\sigma=\sigma\cdot 2\pi r\,t.
  3. Em equilíbrio estático temos F_p=F_\sigma, isto é:
p\pi r^2 = \sigma\cdot 2\pi r\,t.
  1. Simplificando \pi r dos dois lados obtemos \sigma=\dfrac{p r}{2 t}.
Observação importante sobre validade: essa dedução assume que a parede é fina (espessura pequena comparada ao raio) de modo que as tensões através da espessura sejam aproximadamente uniformes. Depois que calcularmos t vamos verificar essa condição.

Passo 3

Determinar a tensão admissível (o que o material pode “aguentar” contando o coeficiente de segurança). A tensão admissível \sigma_\text{adm} é:
\sigma_\text{adm}=\frac{\sigma_\text{ult}}{N_s}.
Substituindo os valores dados:
\sigma_\text{adm}=\frac{450\\ \mathrm{MPa}}{1{,}5}=300\\ \mathrm{MPa}.
Explicando: dividimos a resistência última pela segurança para garantir uma margem; agora devemos exigir que a tensão gerada pela pressão seja menor ou igual a esse valor admissível.

Passo 4

Isolar t na fórmula \sigma=\dfrac{p r}{2 t}. Queremos t que satisfaça \sigma=\sigma_\text{adm}, então:
\sigma_\text{adm}=\frac{p r}{2 t}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{p r}{2\,\sigma_\text{adm}}.
Agora substituímos os valores numéricos. Atenção às unidades: usamos p e \sigma_\text{adm} ambos em \mathrm{MPa} (unidades compatíveis), e r em metros; o resultado t sai em metros.
t=\frac{6\\ \mathrm{MPa}\times 1{,}2\\ \mathrm{m}}{2\times 300\\ \mathrm{MPa}}.
Calcule passo a passo:
  • Numerador: 6\times 1{,}2=7{,}2.
  • Denominador: 2\times 300=600.
    Logo
t=\frac{7{,}2}{600}\\ \mathrm{m}=0{,}012\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter para milímetros e verificar a hipótese de casca fina:
t=0{,}012\\ \mathrm{m}=12\\ \mathrm{mm}.
Verificação da condição de casca fina (regra prática: t<\dfrac{r}{10} ou pelo menos r/t>10):
\frac{r}{t}=\frac{1{,}2}{0{,}012}=100,
ou seja, t é muito menor que r/10 (na verdade r/t=100), então a aproximação de casca fina é totalmente válida. Portanto o cálculo está consistente.

Passo 6

Comentário prático e incentivo (rápido): esse é o valor mínimo teórico considerando apenas resistência última e coeficiente de segurança. Na prática normalmente escolhe-se uma espessura comercial padrão acima desse valor e podem-se considerar também fatores como corrosão, soldagem, tolerâncias e inspeção. Mas para a prova, o resultado calculado é o que você precisa apresentar.

Resposta

t=0{,}012\\ \mathrm{m}=12\\ \mathrm{mm}

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