Questão 1 ( 3 pontos) A partícula P move ao longo da curva \mathrm{R}=4+2 \sin \theta[\mathrm{~m}]. Sabendo-se que \dot{\theta}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} (constante), determine as componentes polares da velocidade e aceleração do ponto P quando ele estiver no ponto B.

Passo 1

O enunciado dá a lei radial da trajetória e a velocidade angular, e pede as componentes polares (radial e transversal) da velocidade e da aceleração no ponto B. Informações do enunciado e da figura:
  • \displaystyle R(\theta)=4+2\sin\theta (em metros).
  • \displaystyle \dot{\theta}=2\\ \text{rad/s} (constante), logo \displaystyle \ddot{\theta}=0.
  • Observando a imagem, o ponto B está no topo da curva (eixo y positivo), portanto o ângulo correspondente é \displaystyle \theta_B=\frac{\pi}{2}. Eu usei essa informação da imagem para achar o valor de \theta em B.
  • Com isso, o raio em B é \displaystyle R\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4+2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4+2\cdot1=6\\ \text{m}. (Também verifiquei que isso confere com a marcação 6 no topo da figura.)
O que precisamos encontrar: as componentes polares v_r e v_\theta da velocidade e a_r e a_\theta da aceleração no instante em que a partícula está em B.

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) as fórmulas da cinemática em coordenadas polares — são essenciais e aparecem muito em provas. Considere r(t) a distância ao polo e \theta(t) o ângulo. As componentes da velocidade e aceleração em versores polares \mathbf{e}_r (radial) e \mathbf{e}_\theta (transversal) são:
\mathbf{v} = \dot r\,\mathbf{e}_r + r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta,
\mathbf{a} = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\,\mathbf{e}_r + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\,\mathbf{e}_\theta.
Explicando cada termo:
  • \dot r é a taxa de variação do comprimento radial (velocidade radial).
  • r\dot\theta é a velocidade tangencial (perpendicular ao raio).
  • \ddot r é a aceleração radial pura (segunda derivada de r).
  • -r\dot\theta^2 é a componente centrípeta (aponta para o centro se negativa no sinal usado).
  • 2\dot r\dot\theta é a aceleração coriolis-like que aparece quando r varia com o tempo.
  • r\ddot\theta é o termo devido à variação angular; se \dot\theta for constante, esse termo some ( \ddot\theta=0).
No nosso caso r(t)=R(\theta(t)), então para derivar em relação ao tempo usamos a regra da cadeia: \dot r = \dfrac{dR}{d\theta}\,\dot\theta e \ddot r = \dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot\theta^2 + \dfrac{dR}{d\theta}\,\ddot\theta. Como \ddot\theta=0, a segunda expressão fica \ddot r = \dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot\theta^2.

Passo 3

Calcule as derivadas de R(\theta)=4+2\sin\theta em função de \theta:
\frac{dR}{d\theta}=2\cos\theta, \qquad \frac{d^2R}{d\theta^2}=-2\sin\theta.
Agora use a regra da cadeia para obter \dot r e \ddot r. Como \dot\theta=2\\ \text{rad/s} e \ddot\theta=0:
\dot r = \frac{dR}{d\theta}\,\dot\theta = 2\cos\theta \cdot \dot\theta,
\ddot r = \frac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot\theta^2 = -2\sin\theta \cdot \dot\theta^2.
Avalie essas expressões em \theta=\frac{\pi}{2}: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 e \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. Logo,
\dot r\Big|_{B} = 2\cdot 0 \cdot 2 = 0\\ \text{m/s},
\ddot r\Big|_{B} = -2\cdot 1 \cdot (2)^2 = -8\\ \text{m/s}^2.
Portanto a velocidade radial em B é nula e a segunda derivada radial é -8\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Calcule a componente tangencial da velocidade em B. A fórmula é v_\theta=r\dot\theta. Em B temos r=6\\ \text{m} e \dot\theta=2\\ \text{rad/s}, então
v_\theta\Big|_{B} = r\dot\theta = 6\cdot 2 = 12\\ \text{m/s}.
Já sabemos de antes que v_r\big|_B=\dot r\big|_B=0.

Passo 5

Agora calcule as componentes da aceleração usando as fórmulas mencionadas. Em B:
  • Componente radial:
a_r = \ddot r - r\dot\theta^2.
Substituindo \ddot r\big|_B=-8\\ \text{m/s}^2, r=6\\ \text{m}, \dot\theta=2\\ \text{rad/s}:
a_r\Big|_{B} = -8 - 6\cdot(2)^2 = -8 - 24 = -32\\ \text{m/s}^2.
(O sinal negativo indica que a aceleração radial aponta para o polo/origem — ou seja, é centrípeta no sentido de aproximar a partícula do centro.)
  • Componente transversal:
a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta.
Como \ddot\theta=0 e \dot r\big|_B=0, obtemos
a_\theta\Big|_{B} = 0 + 2\cdot 0 \cdot 2 = 0\\ \text{m/s}^2.
Portanto a aceleração é puramente radial em B.

Resposta

v_r=0\\ \text{m/s}
v_\theta=12\\ \text{m/s}
a_r=-32\\ \text{m/s}^2
a_\theta=0\\ \text{m/s}^2

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