Questão 1 ( 3 pontos) A partícula P move ao longo da curva \mathrm{R}=4+2 \sin \theta[\mathrm{~m}]. Sabendo-se que \dot{\theta}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} (constante), determine as componentes polares da velocidade e aceleração do ponto P quando ele estiver no ponto B.
Passo 1
O enunciado dá a lei radial da trajetória e a velocidade angular, e pede as componentes polares (radial e transversal) da velocidade e da aceleração no ponto B. Informações do enunciado e da figura:
\displaystyle R(\theta)=4+2\sin\theta (em metros).
\displaystyle \dot{\theta}=2\\ \text{rad/s} (constante), logo \displaystyle \ddot{\theta}=0.
Observando a imagem, o ponto B está no topo da curva (eixo y positivo), portanto o ângulo correspondente é \displaystyle \theta_B=\frac{\pi}{2}. Eu usei essa informação da imagem para achar o valor de \theta em B.
Com isso, o raio em B é \displaystyle R\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4+2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=4+2\cdot1=6\\ \text{m}. (Também verifiquei que isso confere com a marcação 6 no topo da figura.)
O que precisamos encontrar: as componentes polares v_r e v_\theta da velocidade e a_r e a_\theta da aceleração no instante em que a partícula está em B.
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) as fórmulas da cinemática em coordenadas polares — são essenciais e aparecem muito em provas. Considere r(t) a distância ao polo e \theta(t) o ângulo. As componentes da velocidade e aceleração em versores polares \mathbf{e}_r (radial) e \mathbf{e}_\theta (transversal) são:
\dot r é a taxa de variação do comprimento radial (velocidade radial).
r\dot\theta é a velocidade tangencial (perpendicular ao raio).
\ddot r é a aceleração radial pura (segunda derivada de r).
-r\dot\theta^2 é a componente centrípeta (aponta para o centro se negativa no sinal usado).
2\dot r\dot\theta é a aceleração coriolis-like que aparece quando r varia com o tempo.
r\ddot\theta é o termo devido à variação angular; se \dot\theta for constante, esse termo some (\ddot\theta=0).
No nosso caso r(t)=R(\theta(t)), então para derivar em relação ao tempo usamos a regra da cadeia: \dot r = \dfrac{dR}{d\theta}\,\dot\theta e \ddot r = \dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot\theta^2 + \dfrac{dR}{d\theta}\,\ddot\theta. Como \ddot\theta=0, a segunda expressão fica \ddot r = \dfrac{d^2R}{d\theta^2}\,\dot\theta^2.
Passo 3
Calcule as derivadas de R(\theta)=4+2\sin\theta em função de \theta: