Questão 1 ( 3 pontos) O movimento de um corpo no plano em coordenadas polares é dado por: \theta=\omega t e R=b \sqrt{\omega t}, onde \omega e b são constantes. Quando \theta=\pi, determine (a) o vetor velocidade do corpo e (b) o vetor aceleração do corpo.
Passo 1
O enunciado dá o movimento em coordenadas polares com as componentes:
\theta(t)=\omega t,\qquad R(t)=b\sqrt{\omega t},
onde \omega e b são constantes. Pede-se, quando \theta=\pi:
(a) o vetor velocidade \vec v do corpo; (b) o vetor aceleração \vec a do corpo.
Informações úteis extraídas do enunciado: \omega e b constantes, e a relação entre \theta e t nos permite achar o instante t em que \theta=\pi via \theta=\omega t.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas padrões em coordenadas polares e por que elas valem — aula rápida e mastigada. Em coordenadas polares usamos as bases \hat e_r (radial) e \hat e_\theta (transversal). Essas bases dependem de \theta(t) e satisfazem as derivadas temporais:
Explicação rápida dos termos: \dot r é a variação radial; r\dot\theta é a componente tangencial da velocidade (velocidade angular vezes raio); em \vec a aparece -r\dot\theta^{2} (aceleração centrípeta) e o termo de Coriolis 2\dot r\dot\theta para a componente tangencial.
Passo 3
Calcular derivadas de r(t)=b\sqrt{\omega t}=b(\omega t)^{1/2}. Vamos derivar passo a passo (sem pular etapas):
\dot r = b\cdot\frac{1}{2}(\omega t)^{-1/2}\cdot\omega = \frac{b\omega}{2(\omega t)^{1/2}}.
Derivando outra vez:
\ddot r = \frac{b\omega}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(\omega t)^{-3/2}\cdot\omega = -\frac{b\omega^{2}}{4(\omega t)^{3/2}}.
Também temos \dot\theta=\omega (constante) e \ddot\theta=0.
Passo 4
Achar o instante em que \theta=\pi. Como \theta=\omega t, temos