Questão 1 ( 3 pontos) O movimento de um corpo no plano em coordenadas polares é dado por: \theta=\omega t e R=b \sqrt{\omega t}, onde \omega e b são constantes. Quando \theta=\pi, determine (a) o vetor velocidade do corpo e (b) o vetor aceleração do corpo.

Passo 1

O enunciado dá o movimento em coordenadas polares com as componentes:
\theta(t)=\omega t,\qquad R(t)=b\sqrt{\omega t},
onde \omega e b são constantes. Pede-se, quando \theta=\pi:
(a) o vetor velocidade \vec v do corpo; (b) o vetor aceleração \vec a do corpo.
Informações úteis extraídas do enunciado: \omega e b constantes, e a relação entre \theta e t nos permite achar o instante t em que \theta=\pi via \theta=\omega t.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas padrões em coordenadas polares e por que elas valem — aula rápida e mastigada. Em coordenadas polares usamos as bases \hat e_r (radial) e \hat e_\theta (transversal). Essas bases dependem de \theta(t) e satisfazem as derivadas temporais:
\dot{\hat e}_r=\dot\theta\,\hat e_\theta,\qquad \dot{\hat e}_\theta=-\dot\theta\,\hat e_r.
Com isso, derivando o vetor posição \vec r = r(t)\,\hat e_r obtemos a velocidade:
\vec v=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta.
Derivando novamente (usando as derivadas das bases) obtemos a aceleração:
\vec a=(\ddot r - r\dot\theta^{2})\,\hat e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta.
Explicação rápida dos termos: \dot r é a variação radial; r\dot\theta é a componente tangencial da velocidade (velocidade angular vezes raio); em \vec a aparece -r\dot\theta^{2} (aceleração centrípeta) e o termo de Coriolis 2\dot r\dot\theta para a componente tangencial.

Passo 3

Calcular derivadas de r(t)=b\sqrt{\omega t}=b(\omega t)^{1/2}. Vamos derivar passo a passo (sem pular etapas):
\dot r = b\cdot\frac{1}{2}(\omega t)^{-1/2}\cdot\omega = \frac{b\omega}{2(\omega t)^{1/2}}.
Derivando outra vez:
\ddot r = \frac{b\omega}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(\omega t)^{-3/2}\cdot\omega = -\frac{b\omega^{2}}{4(\omega t)^{3/2}}.
Também temos \dot\theta=\omega (constante) e \ddot\theta=0.

Passo 4

Achar o instante em que \theta=\pi. Como \theta=\omega t, temos
\omega t=\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\pi}{\omega}.
Agora avalio r,\dot r,\ddot r em t=\pi/\omega. Primeiro note que (\omega t)=\pi. Então:
r\Big|_{t=\pi/\omega}=b\sqrt{\omega t}=b\sqrt{\pi},
\dot r\Big|_{t=\pi/\omega}=\frac{b\omega}{2(\omega t)^{1/2}}=\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}},
\ddot r\Big|_{t=\pi/\omega}=-\frac{b\omega^{2}}{4(\omega t)^{3/2}}=-\frac{b\omega^{2}}{4\pi^{3/2}}.

Passo 5

Calcular a velocidade usando a fórmula polar \vec v=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta. Substituindo os valores avaliados:
\vec v=\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}\,\hat e_r + b\sqrt{\pi}\,\omega\,\hat e_\theta.
Queremos também uma forma cartesiana (às vezes a prova pede em \hat i,\hat j). As relações entre bases valem:
\hat e_r=\cos\theta\,\hat i+\sin\theta\,\hat j,\qquad \hat e_\theta=-\sin\theta\,\hat i+\cos\theta\,\hat j.
No instante pedido \theta=\pi, então \cos\pi=-1 e \sin\pi=0. Logo
\hat e_r\Big|_{\theta=\pi}=-\hat i,\qquad \hat e_\theta\Big|_{\theta=\pi}=-\hat j.
Substituindo nas componentes polares da velocidade:
\vec v=\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}(-\hat i)+b\sqrt{\pi}\,\omega(-\hat j) = -\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}\,\hat i - b\omega\sqrt{\pi}\,\hat j.

Passo 6

Calcular a aceleração usando a fórmula polar
\vec a=(\ddot r - r\dot\theta^{2})\,\hat e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta.
Como \ddot\theta=0 e \dot\theta=\omega, temos
\vec a=\big(\ddot r - r\omega^{2}\big)\,\hat e_r + \big(2\dot r\,\omega\big)\,\hat e_\theta.
Substituo os valores calculados no instante t=\pi/\omega:
\ddot r - r\omega^{2} = -\frac{b\omega^{2}}{4\pi^{3/2}} - b\sqrt{\pi}\,\omega^{2}.
Coloco em forma única mais simples: faço fator comum -b\omega^{2} e combino termos com denominador 4\pi^{3/2}:
-\frac{b\omega^{2}}{4\pi^{3/2}} - b\omega^{2}\sqrt{\pi} = -b\omega^{2}\!\left(\sqrt{\pi}+\frac{1}{4\pi^{3/2}}\right) = -\frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}.
(Explicando a combinação: \sqrt{\pi}=\dfrac{4\pi^{2}}{4\pi^{3/2}}, somando com \dfrac{1}{4\pi^{3/2}} \dfrac{4\pi^{2}+1}{4\pi^{3/2}}.)
Para a componente tangencial:
2\dot r\,\omega = 2\omega\cdot\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}=\frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}.
Portanto a aceleração em base polar é
\vec a = -\frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}\,\hat e_r + \frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}\,\hat e_\theta.

Passo 7

Converto a aceleração para a base cartesiana usando \hat e_r|_{\theta=\pi}=-\hat i e \hat e_\theta|_{\theta=\pi}=-\hat j (veja Passo 5). Substituindo:
\vec a = -\frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}(-\hat i) \;+\; \frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}(-\hat j).
Ou seja,
\vec a = \frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}\,\hat i - \frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}\,\hat j.
Agora temos as duas representações (polar e cartesiana) para \vec v e \vec a.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v=\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}\,\hat e_r + b\sqrt{\pi}\,\omega\,\hat e_\theta = -\frac{b\omega}{2\sqrt{\pi}}\,\hat i - b\omega\sqrt{\pi}\,\hat j\n
(b) \displaystyle \vec a=-\frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}\,\hat e_r + \frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}\,\hat e_\theta = \frac{b\omega^{2}(4\pi^{2}+1)}{4\pi^{3/2}}\,\hat i - \frac{b\omega^{2}}{\sqrt{\pi}}\,\hat j

Exercícios relacionados