(
pontos) Uma análise de 30 anos de dados revelou que a chuva média anual em um local na bacia do rio Meia Ponte é de 2200 mm e o desvio padrão é de 430 mm . Considerando que a chuva anual neste local tem uma distribuição normal, qual é o valor da chuva anual de um ano muito úmido, com tempo de recorrência de 40 anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Período de observação:
anos (informação de contexto). - Chuva média anual:
. - Desvio padrão da chuva anual:
. - Suposição: a chuva anual segue uma distribuição normal.
O que o enunciado pede: determinar o valor da chuva anual que corresponde a um “ano muito úmido” com tempo de recorrência (retorno) deanos.
Passo 2
Entender o que significa “tempo de recorrência de
anos” em termos de probabilidade anual:
- Tempo de recorrência
anos significa que, em média, a probabilidade de que um ano qualquer tenha chuva igual ou superior a esse valor é .
Assim, a probabilidade de excedência anual é
Isso quer dizer que estamos buscando o nível
tal que
, onde
é a chuva anual.
Passo 3
Converter a probabilidade de excedência para a probabilidade acumulada (quantil):
Portanto precisamos do quantil de ordem
da distribuição normal com média
e desvio padrão
.
Passo 4
Padronização e uso da normal padrão:
Se é normal com média
e desvio padrão
, a variável padronizada
Se
segue a normal padrão, cuja função distribuição acumulada denotamos por
. O quantil procurado satisfaz
onde
é o quantil
da normal padrão. Em tabelas de normal padrão ou usando inversa da normal, tem-se
Explicação rápida:
é o número tal que
da distribuição padrão fica à sua esquerda; costuma-se lembrar
.
Passo 5
Voltar à variável original e calcular
.
A relação entre e
é
A relação entre
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Arredondando para o milímetro mais próximo, obtemos
.
Passo 6
Interpretação e observações finais:
- O valor
é o nível de chuva anual que tem probabilidade de ser excedido em um ano qualquer, ou seja, em média ocorre uma vez a cada anos. - Pressupostos: foi assumida normalidade da chuva anual e que os parâmetros
e são representativos; na prática verifica-se se a normal é boa aproximação antes de aplicar o método.