( \mathbf{1 , 5} pontos) Uma análise de 30 anos de dados revelou que a chuva média anual em um local na bacia do rio Meia Ponte é de 2200 mm e o desvio padrão é de 430 mm . Considerando que a chuva anual neste local tem uma distribuição normal, qual é o valor da chuva anual de um ano muito úmido, com tempo de recorrência de 40 anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Período de observação: 30 anos (informação de contexto).
  • Chuva média anual: \mu = 2200\\ \text{mm}.
  • Desvio padrão da chuva anual: \sigma = 430\\ \text{mm}.
  • Suposição: a chuva anual segue uma distribuição normal.
    O que o enunciado pede: determinar o valor da chuva anual que corresponde a um “ano muito úmido” com tempo de recorrência (retorno) de 40 anos.

Passo 2

Entender o que significa “tempo de recorrência de 40 anos” em termos de probabilidade anual:
  • Tempo de recorrência T = 40 anos significa que, em média, a probabilidade de que um ano qualquer tenha chuva igual ou superior a esse valor é 1/T.
    Assim, a probabilidade de excedência anual é
p=\frac{1}{40}=0,025.
Isso quer dizer que estamos buscando o nível x tal que \Pr(X>x)=0,025, onde X é a chuva anual.

Passo 3

Converter a probabilidade de excedência para a probabilidade acumulada (quantil):
\Pr(X\le x)=1-p=1-0,025=0,975.
Portanto precisamos do quantil de ordem 0,975 da distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma.

Passo 4

Padronização e uso da normal padrão:
Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
segue a normal padrão, cuja função distribuição acumulada denotamos por \Phi. O quantil procurado satisfaz
\Phi(z_{0,975})=0,975,
onde z_{0,975} é o quantil 0,975 da normal padrão. Em tabelas de normal padrão ou usando inversa da normal, tem-se
z_{0,975}\approx 1,959964\approx 1,96.
Explicação rápida: z_{0,975} é o número tal que 97{,}5\% da distribuição padrão fica à sua esquerda; costuma-se lembrar z_{0,975}\approx1{,}96.

Passo 5

Voltar à variável original e calcular x.
A relação entre x e z é
x=\mu+z\sigma.
Substituindo os valores:
x=2200 + 1,959964\cdot 430.
Calcule passo a passo:
1,959964\cdot 430 = 842,78452,
x = 2200 + 842,78452 = 3042,78452\\ \text{mm}.
Arredondando para o milímetro mais próximo, obtemos 3043\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação e observações finais:
  • O valor 3043\\ \text{mm} é o nível de chuva anual que tem probabilidade 0,025 de ser excedido em um ano qualquer, ou seja, em média ocorre uma vez a cada 40 anos.
  • Pressupostos: foi assumida normalidade da chuva anual e que os parâmetros \mu e \sigma são representativos; na prática verifica-se se a normal é boa aproximação antes de aplicar o método.

Resposta

\,3043\\ \text{mm}

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