(1,0 ponto) A relação IDF a seguir foi determinada para a cidade de São João - MA, a partir de dados de pluviógrafo instalado na cidade.
I=\frac{1053,05 * T^{0,1970}}{(t+16,2)^{0,8175}}
sendo: I é a intensidade da chuva (mm/h); T o período de retorno (anos); t a duração da chuva (minutos).

Pede-se:

  • A partir da IDF, determine o volume acumulado em uma precipitação intensa com 0,45 horas de duração e 12 \% de probabilidade de a mesma ser igualada ou superada em um ano qualquer?

Passo 1

O enunciado dá a relação IDF
I=\frac{1053,05\;T^{0,1970}}{(t+16,2)^{0,8175}},
onde I é a intensidade da chuva em \text{mm/h}, T é o período de retorno em anos e t é a duração em minutos.
Os dados fornecidos no problema são:
  • duração da chuva: 0,45\\ \text{h};
  • probabilidade anual de igualar ou superar: 12\% (ou 0,12 em forma decimal).
O que o problema pede: determinar o volume acumulado dessa precipitação intensa. (Como não foi dada área, interpretamos “volume acumulado” como a lâmina precipitada em profundidade (mm) e também apresentaremos o equivalente em volume por hectare, que é uma conversão comum.)

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar a probabilidade anual em período de retorno. A relação entre probabilidade anual p e período de retorno T é
T=\frac{1}{p}.
Substituindo p=0,12,
T=\frac{1}{0,12}=8,333\ldots\\ \text{anos}.

Passo 3

Converter a duração de horas para minutos, porque a fórmula pede t em minutos. Temos
t=0,45\\ \text{h}\times 60\\ \frac{\text{min}}{\text{h}}=27\\ \text{min}.

Passo 4

Agora vamos calcular a intensidade I usando a fórmula. Reescrevendo a fórmula e substituindo T e t:
I=\frac{1053,05\;T^{0,1970}}{(t+16,2)^{0,8175}} =\frac{1053,05\;(\,8,333\ldots\,)^{0,1970}}{(27+16,2)^{0,8175}}.
Explicação didática: quando aparece T^{0,1970} ou (t+16,2)^{0,8175}, pode-se calcular usando potências via logaritmos naturais:
a^{b}=e^{b\ln a}.
Isso é útil quando se usa calculadora científica. Vou mostrar os passos numéricos.

Passo 5

Cálculo do numerador 1053,05\;T^{0,1970}.
Calcular \ln T:
\ln(8,333\ldots)\approx 2,1202635.
Multiplicar pelo expoente:
0,1970\cdot \ln(8,333\ldots)\approx 0,417692.
Aplicar exponencial para obter a potência:
T^{0,1970}=e^{0,417692}\approx 1,5182.
Multiplicando pelo coeficiente:
1053,05\times 1,5182\approx 1598,75.

Passo 6

Cálculo do denominador (t+16,2)^{0,8175}.
Primeiro t+16,2=27+16,2=43,2.
Calcular \ln(43,2):
\ln(43,2)\approx 3,7658405.
Multiplicar pelo expoente:
0,8175\cdot \ln(43,2)\approx 3,078575.
Aplicar exponencial para obter a potência:
(43,2)^{0,8175}=e^{3,078575}\approx 21,736.

Passo 7

Agora dividir numerador pelo denominador para obter I:
I\approx\frac{1598,75}{21,736}\approx 73,61\\ \text{mm/h}.
Breve interpretação: I é a intensidade média (mm de chuva por hora) para essa combinação de T e t.

Passo 8

Calcular o volume acumulado (profundidade precipitada) durante 0,45\\ \text{h}. Se a intensidade média é I em \text{mm/h}, a lâmina precipitada H em mm é
H=I\times \text{duração (h)}.çã
Substituindo,
H\approx 73,61\\ \text{mm/h}\times 0,45\\ \text{h}\approx 33,1245\\ \text{mm}.
Explicação de unidades e conversões úteis:
  • 1\\ \text{mm} de chuva sobre 1\\ \text{m}^2 corresponde a 1\\ \text{litro}=0,001\\ \text{m}^3.
  • Logo, a lâmina de 33,1245\\ \text{mm} sobre 1\\ \text{ha}=10\,000\\ \text{m}^2 corresponde a
V_{\text{ha}}=33,1245\\ \text{mm}\times 10\,000\\ \text{m}^2\times 0,001\\ \frac{\text{m}^3}{\text{m}^2\cdot\text{mm}} =331,245\\ \text{m}^3/\text{ha}.

Passo 9

Arredondamentos finais e interpretação prática: normalmente reporta-se a lâmina em mm com duas casas decimais e o volume por hectare também com duas casas decimais.

Resposta

33,12\\ \text{mm}
331,25\\ \text{m}^3/\text{ha}

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