(
pontos) A equação de movimento de uma partícula é
, em que
está em metros e
, em segundos. Encontre:
(a) a velocidade e a aceleração como funções de
.
(b) a aceleração depois de 1 s .
(c) a velocidade quando a aceleração for nula.
(a) a velocidade e a aceleração como funções de
(b) a aceleração depois de 1 s .
(c) a velocidade quando a aceleração for nula.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula
com
em metros e
em segundos, e pede três coisas:
(a) a velocidade como função de e a aceleração como função de
;
(b) o valor da aceleração em s;
(c) a velocidade nos instantes em que a aceleração for nula.
(a) a velocidade como função de
(b) o valor da aceleração em
(c) a velocidade nos instantes em que a aceleração for nula.
Informações relevantes fornecidas:
, domínio: todo
(pois
sempre). Não há outras restrições dadas.
Passo 2
Entendendo como obter velocidade a partir de
: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é,
.
Regra prática que vamos usar agora: se , então pela regra da cadeia
Regra prática que vamos usar agora: se
Explicando rápido por que: a derivada de
em relação a
é
; ao compor com
usamos a regra da cadeia, multiplicando por
. Um exemplo simples: se
então
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia com
. Temos
. Logo
Esta é a velocidade em metros por segundo (m/s). Aqui expliquei cada símbolo:
é o tempo em segundos;
é a velocidade instantânea em m/s.
Passo 4
Agora a aceleração é a derivada da velocidade:
.
Para derivar podemos usar a regra do quociente: se
então
Para derivar
Aqui
e
. Então
e
. Substituindo:
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Portanto
Podemos fatorar
para ficar mais elegante:
Unidade: metros por segundo ao quadrado (m/s
).
Passo 5
Calcular a aceleração em
. Basta substituir
na expressão de
:
Logo a aceleração depois de
s é
m/s
.
Passo 6
Encontrar os instantes em que a aceleração é nula e a velocidade nesses instantes.
Observação importante: o denominador
nunca é zero porque
para todo
. Então
ocorre exatamente quando o numerador é zero:
Logo
.
Agora calculamos a velocidade em
e em
usando
.
Para
:
Para
:
Portanto quando a aceleração é nula (em
s e
s) a velocidade vale
m/s e
m/s, respectivamente.
Resposta
(a)
(b) m/s
.
(c) m/s \newline
m/s.
(b)
(c)