( \mathbf{2 , 0} pontos) A equação de movimento de uma partícula é s(t)=\ln \left(t^{2}+4\right), em que s está em metros e t, em segundos. Encontre:
(a) a velocidade e a aceleração como funções de t.
(b) a aceleração depois de 1 s .
(c) a velocidade quando a aceleração for nula.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula
s(t)=\ln\bigl(t^{2}+4\bigr),
com s em metros e t em segundos, e pede três coisas:
(a) a velocidade como função de t e a aceleração como função de t;
(b) o valor da aceleração em t=1 s;
(c) a velocidade nos instantes em que a aceleração for nula.
Informações relevantes fornecidas:
\,s(t)=\ln\bigl(t^{2}+4\bigr), domínio: todo \,t\in\mathbb{R} (pois t^{2}+4>0 sempre). Não há outras restrições dadas.

Passo 2

Entendendo como obter velocidade a partir de s(t): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é, \,v(t)=s'(t).
Regra prática que vamos usar agora: se s(t)=\ln\bigl(u(t)\bigr), então pela regra da cadeia
s'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Explicando rápido por que: a derivada de \ln x em relação a x é 1/x; ao compor com u(t) usamos a regra da cadeia, multiplicando por u'(t). Um exemplo simples: se s(t)=\ln(3t) então s'(t)=\dfrac{3}{3t}=\dfrac{1}{t}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia com u(t)=t^{2}+4. Temos u'(t)=2t. Logo
v(t)=s'(t)=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{2t}{t^{2}+4}.
Esta é a velocidade em metros por segundo (m/s). Aqui expliquei cada símbolo: t é o tempo em segundos; v(t) é a velocidade instantânea em m/s.

Passo 4

Agora a aceleração é a derivada da velocidade: \,a(t)=v'(t).
Para derivar \,v(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+4} podemos usar a regra do quociente: se v(t)=\dfrac{f(t)}{g(t)} então
v'(t)=\frac{f'(t)g(t)-f(t)g'(t)}{g(t)^{2}}.
Aqui f(t)=2t e g(t)=t^{2}+4. Então f'(t)=2 e g'(t)=2t. Substituindo:
a(t)=\frac{2\bigl(t^{2}+4\bigr)-2t\cdot(2t)}{\bigl(t^{2}+4\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
2\bigl(t^{2}+4\bigr)-2t\cdot(2t)=2t^{2}+8-4t^{2}=8-2t^{2}.
Portanto
a(t)=\frac{8-2t^{2}}{\bigl(t^{2}+4\bigr)^{2}}.
Podemos fatorar 2 para ficar mais elegante:
a(t)=\frac{2\bigl(4-t^{2}\bigr)}{\bigl(t^{2}+4\bigr)^{2}}.
Unidade: metros por segundo ao quadrado (m/s ^2).

Passo 5

Calcular a aceleração em t=1. Basta substituir t=1 na expressão de a(t):
a(1)=\frac{8-2\cdot 1^{2}}{\bigl(1^{2}+4\bigr)^{2}}=\frac{8-2}{(1+4)^{2}}=\frac{6}{25}.
Logo a aceleração depois de 1 s é \dfrac{6}{25} m/s ^2.

Passo 6

Encontrar os instantes em que a aceleração é nula e a velocidade nesses instantes.
Observação importante: o denominador \bigl(t^{2}+4\bigr)^{2} nunca é zero porque t^{2}+4>0 para todo t. Então a(t)=0 ocorre exatamente quando o numerador é zero:
8-2t^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 2t^{2}=8 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=4.
Logo t=\pm 2.
Agora calculamos a velocidade em t=2 e em t=-2 usando v(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+4}.
Para t=2:
v(2)=\frac{2\cdot 2}{2^{2}+4}=\frac{4}{4+4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Para t=-2:
v(-2)=\frac{2\cdot(-2)}{(-2)^{2}+4}=\frac{-4}{4+4}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}.
Portanto quando a aceleração é nula (em t=2 s e t=-2 s) a velocidade vale \dfrac{1}{2} m/s e -\dfrac{1}{2} m/s, respectivamente.

Resposta

(a) v(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+4},\quad a(t)=\dfrac{2\bigl(4-t^{2}\bigr)}{\bigl(t^{2}+4\bigr)^{2}}.
(b) a(1)=\dfrac{6}{25} m/s ^2.
(c) v(2)=\dfrac{1}{2} m/s \newline v(-2)=-\dfrac{1}{2} m/s.

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