Encontre o limite utilizando a regra de l’Hôpital.
(1,0 ponto) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{cosh} (5 x)-\cos (2 x)}{x \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cosh}(5x)-\cos(2x)}{x\sin x}.
Informações que o enunciado fornece (ou que podemos observar direto no enunciado):
\text{funções envolvidas: }\operatorname{cosh}(5x),\\ \cos(2x),\\ \sin x;çõ
\text{ponto onde o limite é calculado: }x\to 0.é
A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Vamos verificar o tipo de indeterminação e justificar o uso da regra de L’Hôpital. Primeiro, calculemos os valores das funções em x=0 (apenas para ver o tipo de indeterminação):
\operatorname{cosh}(0)=1,\qquad \cos(0)=1,\qquad \sin(0)=0.
Substituindo em cima e embaixo obtemos 1-1=0 no numerador e 0\cdot 0=0 no denominador, ou seja a forma é 0/0. A regra de L’Hôpital diz que, se temos uma indeterminação do tipo 0/0 (ou \infty/\infty) e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis em torno do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aqui as funções são diferenciáveis perto de 0, portanto podemos aplicar L’Hôpital. Vamos diferenciá-las.

Passo 3

Derivando o numerador f(x)=\operatorname{cosh}(5x)-\cos(2x):
  • Regra da cadeia para \operatorname{cosh}(5x): derivada de \operatorname{cosh}(u) é \operatorname{sinh}(u) e derivada de u=5x é 5. Logo a derivada é 5\operatorname{sinh}(5x).
  • Regra da cadeia para \cos(2x): derivada de \cos(u) é -\sin(u) e derivada de u=2x é 2. Então a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x). Como no numerador temos menos \cos(2x), a derivada desse termo é -(-2\sin(2x))=+2\sin(2x).
Assim
f'(x)=5\operatorname{sinh}(5x)+2\sin(2x).
Derivando o denominador g(x)=x\sin x (usar regra do produto):
  • Derivada de x é 1, multiplicada por \sin x \sin x.
  • Mais x vezes derivada de \sin x que é \cos x, dá x\cos x.
Portanto
g'(x)=\sin x + x\cos x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cosh}(5x)-\cos(2x)}{x\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{5\operatorname{sinh}(5x)+2\sin(2x)}{\sin x + x\cos x}.

Passo 4

Avaliemos a nova expressão no ponto x=0 para ver se ainda é indeterminação:
\operatorname{sinh}(0)=0,\qquad \sin(0)=0,\qquad \cos(0)=1,
logo o numerador vira 5\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0 e o denominador vira 0 + 0\cdot 1 = 0. Ainda temos a forma 0/0. Então podemos aplicar L’Hôpital novamente (novamente as funções são diferenciáveis).

Passo 5

Vamos derivar outra vez.
Derivada de f'(x)=5\operatorname{sinh}(5x)+2\sin(2x):
  • Derivada de 5\operatorname{sinh}(5x): regra da cadeia — derivada de \operatorname{sinh}(u) é \operatorname{cosh}(u), vezes derivada de u=5x que é 5. Multiplicando pelo coeficiente 5 inicial dá 5\cdot 5\operatorname{cosh}(5x)=25\operatorname{cosh}(5x).
  • Derivada de 2\sin(2x): derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x), multiplicando por 2 4\cos(2x).
Logo
f''(x)=25\operatorname{cosh}(5x)+4\cos(2x).
Derivada de g'(x)=\sin x + x\cos x:
  • Derivada de \sin x é \cos x.
  • Derivada de x\cos x novamente pela regra do produto: 1\cdot \cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Somando:
g''(x)=\cos x + (\cos x - x\sin x)=2\cos x - x\sin x.
Pela segunda aplicação de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0}\frac{5\operatorname{sinh}(5x)+2\sin(2x)}{\sin x + x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{25\operatorname{cosh}(5x)+4\cos(2x)}{2\cos x - x\sin x}.

Passo 6

Agora avaliamos esse limite diretamente em x=0, já que não há indeterminação:
\operatorname{cosh}(0)=1,\qquad \cos(0)=1,\qquad \sin(0)=0.
Substituindo:
\text{numerador}=25\cdot 1 + 4\cdot 1 = 25+4 = 29,
\text{denominador}=2\cdot 1 - 0 = 2.
Portanto o limite vale \dfrac{29}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{29}{2}

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