Encontre o limite utilizando a regra de l’Hôpital.
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações que o enunciado fornece (ou que podemos observar direto no enunciado):
A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Vamos verificar o tipo de indeterminação e justificar o uso da regra de L’Hôpital. Primeiro, calculemos os valores das funções em
(apenas para ver o tipo de indeterminação):
Substituindo em cima e embaixo obtemos
no numerador e
no denominador, ou seja a forma é
. A regra de L’Hôpital diz que, se temos uma indeterminação do tipo
(ou
) e as funções do numerador e denominador são diferenciáveis em torno do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Aqui as funções são diferenciáveis perto de
, portanto podemos aplicar L’Hôpital. Vamos diferenciá-las.
Passo 3
Derivando o numerador
:
- Regra da cadeia para
: derivada de é e derivada de é . Logo a derivada é . - Regra da cadeia para
: derivada de é e derivada de é . Então a derivada de é . Como no numerador temos menos , a derivada desse termo é .
Assim
Derivando o denominador
(usar regra do produto):
- Derivada de
é , multiplicada por dá . - Mais
vezes derivada de que é , dá .
Portanto
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 4
Avaliemos a nova expressão no ponto
para ver se ainda é indeterminação:
logo o numerador vira
e o denominador vira
. Ainda temos a forma
. Então podemos aplicar L’Hôpital novamente (novamente as funções são diferenciáveis).
Passo 5
Vamos derivar outra vez.
Derivada de
:
- Derivada de
: regra da cadeia — derivada de é , vezes derivada de que é . Multiplicando pelo coeficiente inicial dá . - Derivada de
: derivada de é , multiplicando por dá .
Logo
Derivada de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
novamente pela regra do produto: .
Somando:
Pela segunda aplicação de L’Hôpital:
Passo 6
Agora avaliamos esse limite diretamente em
, já que não há indeterminação:
Substituindo:
Portanto o limite vale
.