( \mathbf{2} pontos) Qual é a impedância equivalente de um circuito com três impedâncias \mathbf{Z}_{1}=5 \angle 0^{\circ} \Omega, \mathbf{Z}_{2}=10 \angle 30^{\circ} \Omega, e \mathbf{Z}_{3}=15 \angle-45^{\circ} \Omega em paralelo?

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se a impedância equivalente de três impedâncias conectadas em paralelo.
  • Foram dadas as três impedâncias (todas em ohms):
    • \mathbf{Z}_{1}=5 \angle 0^{\circ}\\ \Omega
    • \mathbf{Z}_{2}=10 \angle 30^{\circ}\\ \Omega
    • \mathbf{Z}_{3}=15 \angle -45^{\circ}\\ \Omega

Passo 2

Estratégia de resolução (conceito importante e fórmula).
  • Para resistências/impedâncias em paralelo é mais simples trabalhar com admitâncias. Admitância é o inverso da impedância:
\mathbf{Y}=\frac{1}{\mathbf{Z}}.
  • Admitância é um número complexo que costuma ser escrito como \mathbf{Y}=G+jB, onde:
    • G é a parte real (condutância, em siemens),
    • B é a parte imaginária (susceptância, em siemens),
    • j é a unidade imaginária.
  • Para impedâncias em paralelo:
\mathbf{Y}_{\text{eq}}=\mathbf{Y}_1+\mathbf{Y}_2+\mathbf{Y}_3, \qquad \mathbf{Z}_{\text{eq}}=\frac{1}{\mathbf{Y}_{\text{eq}}}.
  • Observação prática: para calcular \mathbf{Y}_k é conveniente usar a forma polar primeiro:
\frac{1}{r\angle\theta}=\frac{1}{r}\angle(-\theta),
e depois converter cada \mathbf{Y}_k para a forma retangular G_k+jB_k para poder somar.

Passo 3

Calcular \mathbf{Y}_1 a partir de \mathbf{Z}_1.
  • \mathbf{Z}_1=5\angle 0^{\circ}\\ \Omega então
\mathbf{Y}_1=\frac{1}{\mathbf{Z}_1}=\frac{1}{5}\angle 0^{\circ}=0,2\angle 0^{\circ}\\ \text{S}.
  • Converter para retangular ( G_1+jB_1):
G_1=0,2\cos 0^{\circ}=0,2,\qquad B_1=0,2\sin 0^{\circ}=0.
  • Logo
\mathbf{Y}_1=0,2+ j\,0\\ \text{S}.

Passo 4

Calcular \mathbf{Y}_2 a partir de \mathbf{Z}_2.
  • \mathbf{Z}_2=10\angle 30^{\circ}\\ \Omega então
\mathbf{Y}_2=\frac{1}{10}\angle -30^{\circ}=0,1\angle -30^{\circ}\\ \text{S}.
  • Usar valores trigonométricos exatos: \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}.
  • Converter para retangular:
G_2=0,1\cos(-30^{\circ})=0,1\cos 30^{\circ}=0,1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=0,05\sqrt{3}\approx 0,0866025,
B_2=0,1\sin(-30^{\circ})=0,1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-0,05.
  • Portanto
\mathbf{Y}_2\approx 0,0866025 - j\,0,05\\ \text{S}.

Passo 5

Calcular \mathbf{Y}_3 a partir de \mathbf{Z}_3.
  • \mathbf{Z}_3=15\angle -45^{\circ}\\ \Omega então
\mathbf{Y}_3=\frac{1}{15}\angle 45^{\circ}\approx 0,066\overline{6}\angle 45^{\circ}\\ \text{S}.
  • Usar \cos 45^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Converter para retangular:
G_3=\frac{1}{15}\cos 45^{\circ}=\frac{1}{15}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{30}\approx 0,0471405,
B_3=\frac{1}{15}\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{30}\approx 0,0471405.
  • Logo
\mathbf{Y}_3\approx 0,0471405 + j\,0,0471405\\ \text{S}.

Passo 6

Somar as admitâncias para obter \mathbf{Y}_{\text{eq}}.
  • Somar as partes reais:
G_{\text{eq}}=G_1+G_2+G_3\approx 0,2+0,0866025+0,0471405=0,3337430\\ \text{S}.
  • Somar as partes imaginárias:
B_{\text{eq}}=B_1+B_2+B_3\approx 0-0,05+0,0471405=-0,0028595\\ \text{S}.
  • Assim
\mathbf{Y}_{\text{eq}}\approx 0,3337430 - j\,0,0028595\\ \text{S}.

Passo 7

Inverter a admitância para obter \mathbf{Z}_{\text{eq}}.
Método 1 (fórmula em retangular): para \mathbf{Y}=G+jB,
\mathbf{Z}=\frac{1}{\mathbf{Y}}=\frac{G-jB}{G^{2}+B^{2}}.
  • Calcular G^{2}+B^{2}:
G^{2}+B^{2}\approx (0,3337430)^{2}+(-0,0028595)^{2}\approx 0,1114121.
  • Numerador (real e imag):
\text{Re}(\mathbf{Z})=\frac{G}{G^{2}+B^{2}}\approx\frac{0,3337430}{0,1114121}\approx 2,995,
\text{Im}(\mathbf{Z})=\frac{-(-B)}{G^{2}+B^{2}}=\frac{B}{G^{2}+B^{2}}\cdot(-1)\Rightarrow
usando a forma \dfrac{G-jB}{G^{2}+B^{2}} obtém-se a parte imaginária positiva
\text{Im}(\mathbf{Z})\approx \frac{0,0028595}{0,1114121}\approx 0,02566.
  • Portanto, em forma retangular:
\mathbf{Z}_{\text{eq}}\approx 2,995 + j\,0,02566\\ \Omega.
Método 2 (polar, confere o mesmo resultado): calcular magnitude e fase de \mathbf{Y}_{\text{eq}},
|\mathbf{Y}_{\text{eq}}|=\sqrt{G^{2}+B^{2}}\approx\sqrt{0,1114121}\approx 0,333783,
\angle\mathbf{Y}_{\text{eq}}=\arctan\!\left(\frac{B}{G}\right)\approx \arctan\!\left(\frac{-0,0028595}{0,3337430}\right)\approx -0,491^{\circ}.
Então
\mathbf{Z}_{\text{eq}}=\frac{1}{|\mathbf{Y}_{\text{eq}}|}\angle -\angle\mathbf{Y}_{\text{eq}} \approx 2,995\angle 0,491^{\circ}\\ \Omega,
que corresponde à forma retangular acima.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida.
  • A impedância equivalente é um número real dominante (aprox 3\\ \Omega) com uma pequena reatância positiva (indutiva) de cerca de 0,026\\ \Omega.
  • Os dois métodos (inversão retangular e inversão via polar) coincidem numericamente, então o resultado está consistente.

Resposta

\mathbf{Z}_{\text{eq}}\approx 2,995 + j\,0,02566\\ \Omega
\mathbf{Z}_{\text{eq}}\approx 2,995\angle 0,491^{\circ}\\ \Omega

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