(1 ponto) Determine a impedância equivalente de um indutor de 5 mH em série com um capacitor de 100 \mu \mathrm{~F} em \omega=1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pedido: determinar a impedância equivalente do circuito formado por um indutor em série com um capacitor, para a pulsação dada.
  • Dados:
    • Indutor: L = 5\\ \text{mH}.
    • Capacitor: C = 100\\ \mu\text{F}.
    • Pulsação: \omega = 1000\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas (mini-aula rápida e prática).
  • Impedância (no domínio fasorial) é a generalização da resistência para circuitos com reatância. É um número complexo que relaciona tensão e corrente em regime senoidal estacionário.
  • Para um indutor ideal a impedância é
Z_L = j\,\omega\,L,
onde:
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1), indica defasagem de +90^\circ entre tensão e corrente no indutor;
  • \omega é a pulsação (rad/s);
  • L é a indutância (H).
  • Para um capacitor ideal a impedância é
Z_C = \frac{1}{j\,\omega\,C} = -\,\frac{j}{\omega\,C},
onde:
  • C é a capacitância (F);
  • o sinal negativo na parte imaginária indica que a corrente no capacitor antecipa a tensão (fase de -90^\circ).
  • Em série, impedâncias somam algebraicamente:
Z_{\text{eq}} = Z_L + Z_C.

Passo 3

Converter unidades para o SI (muito importante para não errar contas).
  • L = 5\\ \text{mH} = 5\times10^{-3}\\ \text{H}.
  • C = 100\\ \mu\text{F} = 100\times10^{-6}\\ \text{F} = 1\times10^{-4}\\ \text{F}.

Passo 4

Calcular a impedância do indutor passo a passo.
  • Primeiro calcule \omega L:
\omega L = 1000 \cdot 5\times10^{-3} = 5.
  • Portanto
Z_L = j\,\omega L = j\cdot 5\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a impedância do capacitor passo a passo.
  • Primeiro calcule \omega C:
\omega C = 1000 \cdot 1\times10^{-4} = 0{,}1.
  • A magnitude de Z_C é 1/(\omega C):
\frac{1}{\omega C} = \frac{1}{0{,}1} = 10.
  • Como Z_C = 1/(j\omega C) = -\,j/( \omega C), obtemos
Z_C = -\,j\,10\\ \Omega.

Passo 6

Somar as impedâncias em série (forma complexa).
Z_{\text{eq}} = Z_L + Z_C = j5 + (-\,j10) = -\,j5\\ \Omega.

Passo 7

Interpretar o resultado e apresentar formas alternativas (útil na prova).
  • Em forma retangular: Z_{\text{eq}} = -\,j5\\ \Omega.
  • Em termos de reatância líquida: X = X_L - X_C = 5 - 10 = -5\\ \Omega, logo Z = jX = -\,j5\\ \Omega.
  • Em forma polar: |Z| = 5\\ \Omega com ângulo \angle Z = -90^\circ (ou -\tfrac{\pi}{2} rad).
  • Significado físico: elemento resultante é predominante capacitivo (reatância negativa), então a corrente global antecipa a tensão.

Resposta

-\,j5\\ \Omega
|Z|=5\\ \Omega,\\ \angle Z=-90^\circ

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