(1 ponto) Calcule a impedância equivalente de um circuito paralelo com R=10 \Omega, L=20 \mathrm{mH}, e C=50 \mu \mathrm{~F} em \omega=500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: Calcular a impedância equivalente do circuito paralelo formado por R, L e C na frequência angular \omega=500\\ \mathrm{rad/s}.
  • Dados fornecidos:
    • R=10\\ \Omega.
    • L=20\\ \mathrm{mH}=0{,}02\\ \mathrm{H}.
    • C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • \omega=500\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicadinhas).
  • Impedância de um resistor: \;Z_R = R.
    • Aqui R é o valor em ohms e Z_R é uma quantidade complexa (a parte imaginária é zero).
  • Impedância de um indutor em regime senoidal: \;Z_L = j\,\omega L.
    • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}, L é a indutância em henry, e j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Z_L é puramente imaginária positiva (indutiva).
  • Impedância de um capacitor em regime senoidal: \;Z_C = \dfrac{1}{j\,\omega C} = -\,\dfrac{j}{\omega C}.
    • C é a capacitância em farads. Z_C é puramente imaginária negativa (capacitiva).
  • Para elementos em paralelo, é mais fácil somar as admitâncias (admitância Y é o inverso da impedância): \;Y = \dfrac{1}{Z}.
    • Admitância total do paralelo: \;Y_{eq} = Y_R + Y_L + Y_C.
    • Impedância equivalente: \;Z_{eq} = \dfrac{1}{Y_{eq}}.
Vou aplicar essas fórmulas com os números dados. Cada variável foi explicada acima.

Passo 3

Calcular as impedâncias individuais numericamente.
  • Resistor: Z_R = R = 10\\ \Omega.
  • Indutor: Z_L = j\,\omega L = j\cdot 500\cdot 0{,}02 = j\cdot 10 = j10\\ \Omega.
  • Capacitor: \omega C = 500\cdot(50\times10^{-6}) = 500\cdot 0{,}00005 = 0{,}025,
Z_C = \frac{1}{j\,\omega C} = -\,\frac{j}{\omega C} = -\,\frac{j}{0{,}025} = -\,j40\\ \Omega.
Portanto:
Z_R = 10,\qquad Z_L = j10,\qquad Z_C = -\,j40\quad(\Omega).

Passo 4

Calcular as admitâncias individuais (porque o circuito é paralelo).
  • Admitância do resistor: Y_R = \frac{1}{Z_R} = \frac{1}{10} = 0{,}1\\ \mathrm{S}.Aqui \mathrm{S} significa siemens (unidade de admitância).
  • Admitância do indutor: Y_L = \frac{1}{Z_L} = \frac{1}{j10} = -\,\frac{j}{10} = -\,j0{,}1\\ \mathrm{S}.Note que \frac{1}{j}=-j.
  • Admitância do capacitor: Y_C = \frac{1}{Z_C} = \frac{1}{-j40} = j\cdot\frac{1}{40} = j0{,}025\\ \mathrm{S}.

Passo 5

Somar as admitâncias para obter a admitância total.
Y_{eq} = Y_R + Y_L + Y_C = 0{,}1 + (-\,j0{,}1) + j0{,}025.
Agrupando parte real e imaginária:
Y_{eq} = 0{,}1 + j\bigl(-0{,}1 + 0{,}025\bigr) = 0{,}1 - j0{,}075\\ \mathrm{S}.

Passo 6

Inverter a admitância total para obter a impedância equivalente. Faço a inversão multiplicando por conjugado para ficar claro.
Z_{eq} = \frac{1}{Y_{eq}} = \frac{1}{0{,}1 - j0{,}075}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 0{,}1 + j0{,}075:
Z_{eq} = \frac{0{,}1 + j0{,}075}{(0{,}1)^2 + (0{,}075)^2}.
Calculo o denominador:
(0{,}1)^2 + (0{,}075)^2 = 0{,}01 + 0{,}005625 = 0{,}015625.
Observação: 0{,}015625=\dfrac{1}{64}, então dividir por isso é multiplicar por 64:
Z_{eq} = 64\cdot(0{,}1 + j0{,}075) = 6{,}4 + j4{,}8\\ \Omega.

Passo 7

Interpretação e forma polar (opcional, útil para prova).
  • Módulo: |Z_{eq}| = \sqrt{6{,}4^{2} + 4{,}8^{2}} = \sqrt{40{,}96 + 23{,}04} = \sqrt{64} = 8\\ \Omega.
  • Fase (ângulo): \theta = \arctan\!\left(\frac{4{,}8}{6{,}4}\right) = \arctan(0{,}75)\approx 36{,}87^\circ.
  • Observação física: a parte imaginária positiva ( +j4{,}8) indica que a impedância equivalente é inductiva no conjunto (o comportamento indutivo vence o capacitivo).

Resposta

Z_{eq}=6{,}4 + j4{,}8\\ \Omega
|Z_{eq}|=8\\ \Omega,\\ \angle Z_{eq}=36{,}87^\circ

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