(
pontos ) Quantas palavras podem ser formadas usando as letras da palavra "BALLOON"de modo que todas as vogais (A e ambos os O’s) estejam sempre juntas?
Passo 1
O que o problema pede: contar quantas “palavras” (ou sequências de letras) distintas podem ser formadas usando todas as letras da palavra
de modo que todas as vogais — isto é, a letra
e as duas letras
— fiquem sempre juntas (consecutivas) no arranjo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
tem as letras
(uma vez),
(uma vez),
(duas vezes),
(duas vezes) e
(uma vez).
As vogais a serem mantidas juntas são .
As vogais a serem mantidas juntas são
Passo 2
Idéia do método (explicação intuitiva): quando queremos que certas letras fiquem sempre juntas, podemos tratá‑las como se fossem um único “bloco” ou super‑símbolo. Depois contamos as permutações dos objetos (bloco + demais letras), levando em conta repetições, e em seguida multiplicamos pelo número de permutações internas possíveis dentro do bloco. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.
Passo 3
Fórmula usada para permutações com repetições (explicando como e por que): se temos
objetos onde há repetições — por exemplo,
iguais de um tipo,
iguais de outro tipo, etc. — o número de permutações distintas é
Motivação simples:
é o número de permutações se todos fossem diferentes; dividir por
corrige o fato de que permutar entre si os
idênticos não gera arranjos novos, e assim por diante. Exemplo curto: arranjar
dá
porque as duas
são iguais.
Passo 4
Aplicando o bloco das vogais: trato o conjunto de vogais
como um único bloco
. Então os “objetos” a arranjar são
,
,
,
,
.
Isso dá objetos no total, com a repetição de
ocorrendo
vezes. Pelo método de permutações com repetições, o número de arranjos desses
objetos é
Isso dá
Calculemos:
logo
Portanto há
formas diferentes de colocar o bloco
e as consoantes
em sequência.
Passo 5
Agora contamos as permutações internas do bloco
formado por
. São
letras no bloco, com as duas
idênticas. Pelo mesmo princípio das permutações com repetições:
Calculemos:
Essas
correspondem às sequências distintas
(note que os dois
são idênticos, então há só três disposições distintas).
Passo 6
Combinação final: para cada uma das
posições possíveis do bloco
entre as consoantes, podemos escolher uma das
permutações internas do bloco. Pelo princípio multiplicativo:
Interpretação final: existem
palavras distintas formadas com as letras de
em que
e as duas
estão sempre juntas.