( \mathbf{1 , 0} pontos ) Quantas palavras podem ser formadas usando as letras da palavra "BALLOON"de modo que todas as vogais (A e ambos os O’s) estejam sempre juntas?

Passo 1

O que o problema pede: contar quantas “palavras” (ou sequências de letras) distintas podem ser formadas usando todas as letras da palavra \text{BALLOON} de modo que todas as vogais — isto é, a letra A e as duas letras O — fiquem sempre juntas (consecutivas) no arranjo.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{BALLOON} tem as letras
B (uma vez), A (uma vez), L (duas vezes), O (duas vezes) e N (uma vez).
As vogais a serem mantidas juntas são A, O, O.

Passo 2

Idéia do método (explicação intuitiva): quando queremos que certas letras fiquem sempre juntas, podemos tratá‑las como se fossem um único “bloco” ou super‑símbolo. Depois contamos as permutações dos objetos (bloco + demais letras), levando em conta repetições, e em seguida multiplicamos pelo número de permutações internas possíveis dentro do bloco. Vou mostrar passo a passo por que isso funciona.

Passo 3

Fórmula usada para permutações com repetições (explicando como e por que): se temos n objetos onde há repetições — por exemplo, n_1 iguais de um tipo, n_2 iguais de outro tipo, etc. — o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}.
Motivação simples: n! é o número de permutações se todos fossem diferentes; dividir por n_1! corrige o fato de que permutar entre si os n_1 idênticos não gera arranjos novos, e assim por diante. Exemplo curto: arranjar L,L,B \dfrac{3!}{2!}=3 porque as duas L são iguais.

Passo 4

Aplicando o bloco das vogais: trato o conjunto de vogais A,O,O como um único bloco V. Então os “objetos” a arranjar são
V, B, L, L, N.
Isso dá 5 objetos no total, com a repetição de L ocorrendo 2 vezes. Pelo método de permutações com repetições, o número de arranjos desses 5 objetos é
\frac{5!}{2!}.
Calculemos:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120,
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\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60.
Portanto há 60 formas diferentes de colocar o bloco V e as consoantes B,L,L,N em sequência.

Passo 5

Agora contamos as permutações internas do bloco V formado por A,O,O. São 3 letras no bloco, com as duas O idênticas. Pelo mesmo princípio das permutações com repetições:
\text{arranjos dentro de }V = \frac{3!}{2!}.
Calculemos:
3! = 6,\quad \frac{3!}{2!}=\frac{6}{2}=3.
Essas 3 correspondem às sequências distintas AOO,\;OAO,\;OOA (note que os dois O são idênticos, então há só três disposições distintas).

Passo 6

Combinação final: para cada uma das 60 posições possíveis do bloco V entre as consoantes, podemos escolher uma das 3 permutações internas do bloco. Pelo princípio multiplicativo:
\text{total} = 60 \times 3 = 180.
Interpretação final: existem 180 palavras distintas formadas com as letras de \text{BALLOON} em que A e as duas O estão sempre juntas.

Resposta

180

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