Exemplo 5

A safra de alfafa de uma amostra aleatória de seis lotes de teste é dada por 1,4: 1, 6 ; 0,9 ; 1,9 ; 2,2; e 1,2 tonelada por acre. Teste ao nivel 0,05 de significância, se isso corrobora a alegação de que a safra média para esse tipo de alfafa é de 1,5 tonelada por acre.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória com n=6 lotes cujas safras (em toneladas por acre) são, na ordem: \,1,4;\;1,6;\;0,9;\;1,9;\;2,2;\;1,2\,. O nível de significância pedido é \alpha=0,05. A pergunta é: os dados corroboram a alegação de que a safra média para esse tipo de alfafa é \,1,5 toneladas por acre? Ou seja, devemos testar se a média populacional é \,1,5 com base nessa amostra.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (a alegação é que a média é exatamente 1,5, então o teste é bilateral):
H_0: \mu = 1,5
H_1: \mu \neq 1,5
Explicação breve: H_0 é a hipótese nula (a média é 1,5). H_1 é a hipótese alternativa (a média é diferente de 1,5). Como a hipótese é de igualdade, usamos teste bilateral.

Passo 3

Escolha do teste e fórmula: a amostra é pequena ( n=6) e a variância populacional é desconhecida, então usamos o teste t para uma amostra. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui \,1,5);
  • s é o desvio-padrão amostral (estimador da raiz da variância);
  • n é o tamanho da amostra.
    Graça do teste t: quando a amostra é pequena e \sigma é desconhecido, usamos s e a distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Cálculo da média amostral \bar{x}. Soma dos valores (todos extraídos do enunciado):
\sum x_i = 1,4 + 1,6 + 0,9 + 1,9 + 2,2 + 1,2 = 9,2.
Portanto
\bar{x}=\frac{9,2}{6}=1,533\overline{3}\approx 1,533.
Explicação: a média é a soma dos observações dividida pelo número de observações.

Passo 5

Cálculo da variância amostral e do desvio-padrão amostral. Primeiro computamos as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (vou arredondar para 6 casas decimais apenas para clareza):
  1. 1,4-\bar{x}=1,4-1,533\overline{3}=-0,133\overline{3}, (\cdot)^2\approx 0,017778.
  2. 1,6-\bar{x}=0,066\overline{6}, (\cdot)^2\approx 0,004444.
  3. 0,9-\bar{x}=-0,633\overline{3}, (\cdot)^2\approx 0,401111.
  4. 1,9-\bar{x}=0,366\overline{6}, (\cdot)^2\approx 0,134444.
  5. 2,2-\bar{x}=0,666\overline{6}, (\cdot)^2\approx 0,444444.
  6. 1,2-\bar{x}=-0,333\overline{3}, (\cdot)^2\approx 0,111111.
Somando os quadrados das diferenças:
\sum (x_i-\bar{x})^2 \approx 0,017778+0,004444+0,401111+0,134444+0,444444+0,111111=1,113333.
A variância amostral (com divisor n-1) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\frac{1,113333}{5}=0,2226666\approx 0,222667.
O desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}\approx \sqrt{0,222667}\approx 0,4718.
Explicação: usamos n-1 no denominador para obter um estimador não tendencioso da variância (graus de liberdade).

Passo 6

Cálculo da estatística t. Substituindo os valores:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{1,533\overline{3}-1,5}{0,4718/\sqrt{6}}.
Calcule s/\sqrt{n}:
\sqrt{6}\approx 2,4495,\quad \frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{0,4718}{2,4495}\approx 0,1926.
Então
t\approx\frac{0,0333\overline{3}}{0,1926}\approx 0,173.
Interpretação do número: t é muito próximo de zero — isto indica que a média amostral está muito próxima do valor hipotetizado 1,5 em unidades de erro padrão.

Passo 7

Decisão do teste usando valor crítico e p-valor.
  • Graus de liberdade: df=n-1=5.
  • Para um teste bilateral com \alpha=0,05, o valor crítico é t_{0,025,\,5}. Consultando a tabela t (ou usando cálculo), obtemos aproximadamente
t_{0,025,5}\approx 2,570.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2,570. Aqui |t|\approx 0,173<2,570, logo não rejeitamos H_0.
Cálculo aproximado do p-valor: para t\approx 0,173 com df=5, a cauda superior tem probabilidade cerca de 0,433, então o p-valor bilateral é aproximadamente 2\times 0,433\approx 0,866. (Portanto p-valor \approx 0,87.) Como p-valor >\alpha, também concluímos para não rejeitar H_0.

Passo 8

Conclusão e interpretação no contexto (linguagem simples e encorajadora): com esse pequeno conjunto de dados, não há evidência estatística para rejeitar a afirmação de que a safra média é \,1,5 toneladas por acre ao nível de significância 5\%. Em linguagem de prova: falhamos em rejeitar H_0. Observação prática: a amostra é pequena, então o teste tem baixa sensibilidade para detectar pequenas diferenças — mas, com os dados fornecidos, a média observada está muito próxima de 1,5.

Resposta

Não rejeita-se H_0. Estatística t\approx 0,173, p-valor \approx 0,87. Conclusão: não há evidência suficiente, ao nível \alpha=0,05, para rejeitar que a média seja 1,5 toneladas por acre.

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