Exemplo 5
A safra de alfafa de uma amostra aleatória de seis lotes de teste é dada por 1,4: 1,
; e 1,2 tonelada por acre. Teste ao nivel 0,05 de significância, se isso corrobora a alegação de que a safra média para esse tipo de alfafa é de 1,5 tonelada por acre.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória com
lotes cujas safras (em toneladas por acre) são, na ordem:
O nível de significância pedido é
. A pergunta é: os dados corroboram a alegação de que a safra média para esse tipo de alfafa é
toneladas por acre? Ou seja, devemos testar se a média populacional é
com base nessa amostra.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (a alegação é que a média é exatamente
, então o teste é bilateral):
Explicação breve:
é a hipótese nula (a média é
).
é a hipótese alternativa (a média é diferente de
). Como a hipótese é de igualdade, usamos teste bilateral.
Passo 3
Escolha do teste e fórmula: a amostra é pequena (
) e a variância populacional é desconhecida, então usamos o teste
para uma amostra. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral; -
é o valor da média sob (aqui ); -
é o desvio-padrão amostral (estimador da raiz da variância); -
é o tamanho da amostra.
Graça do teste: quando a amostra é pequena e é desconhecido, usamos e a distribuição com graus de liberdade.
Passo 4
Cálculo da média amostral
. Soma dos valores (todos extraídos do enunciado):
Portanto
Explicação: a média é a soma dos observações dividida pelo número de observações.
Passo 5
Cálculo da variância amostral e do desvio-padrão amostral. Primeiro computamos as diferenças
e seus quadrados (vou arredondar para 6 casas decimais apenas para clareza):
-
, . -
, . -
, . -
, . -
, . -
, .
Somando os quadrados das diferenças:
A variância amostral (com divisor
) é
O desvio-padrão amostral é
Explicação: usamos
no denominador para obter um estimador não tendencioso da variância (graus de liberdade).
Passo 6
Cálculo da estatística
. Substituindo os valores:
Calcule
:
Então
Interpretação do número:
é muito próximo de zero — isto indica que a média amostral está muito próxima do valor hipotetizado
em unidades de erro padrão.
Passo 7
Decisão do teste usando valor crítico e p-valor.
- Graus de liberdade:
. - Para um teste bilateral com
, o valor crítico é . Consultando a tabela (ou usando cálculo), obtemos aproximadamente
Regra: rejeitar
se
. Aqui
, logo não rejeitamos
.
Cálculo aproximado do p-valor: para
com
, a cauda superior tem probabilidade cerca de
, então o p-valor bilateral é aproximadamente
. (Portanto
-valor
.) Como
-valor
, também concluímos para não rejeitar
.
Passo 8
Conclusão e interpretação no contexto (linguagem simples e encorajadora): com esse pequeno conjunto de dados, não há evidência estatística para rejeitar a afirmação de que a safra média é
toneladas por acre ao nível de significância
. Em linguagem de prova: falhamos em rejeitar
. Observação prática: a amostra é pequena, então o teste tem baixa sensibilidade para detectar pequenas diferenças — mas, com os dados fornecidos, a média observada está muito próxima de
.
Resposta
Não rejeita-se
. Estatística
,
-valor
. Conclusão: não há evidência suficiente, ao nível
, para rejeitar que a média seja
toneladas por acre.