1. ( \mathbf{2 . 5} pontos) (Séries e análise complexa) As séries de potências são o ponto de partida para a definição de funções analíticas em variáveis complexas.
    (a) Explique como o conceito de raio de convergência de uma série de potências \sum c_{n}(z-a)^{n} em \mathbb{C} delimita o domínio de analiticidade de uma função complexa f(z).
    (b) Dê um exemplo de função cuja série de Taylor (em torno de z=0 ) tenha raio de convergência finito, indicando a singularidade que o determina.
    (c) Comente como esse fato se conecta à ideia de fronteira natural e de extensão analítica.

Passo 1

O enunciado tem três perguntas separadas:
(a) explicar como o conceito de raio de convergência de uma série de potências \sum c_{n}(z-a)^{n} em \mathbb{C} delimita o domínio de analiticidade de uma função f(z);
(b) dar um exemplo de função cuja série de Taylor em torno de z=0 tenha raio de convergência finito e indicar a singularidade que determina esse raio;
(c) comentar como isso se conecta à ideia de fronteira natural e de extensão analítica.
Informações dadas (úteis para a resolução):
  • Temos uma série de potências centrada em a: \sum c_{n}(z-a)^{n}.
  • Precisamos relacionar a convergência dessa série com onde a função definida por ela é analítica e com singuralidades que limitam a extensão.

Passo 2

O que é o raio de convergência e como calculá‑lo (fórmula prática).
  • Definição: o raio de convergência R é o número em [0,\infty] tal que a série \sum c_{n}(z-a)^{n} converge absolutamente para todo z com |z-a|<R e diverge para todo z com |z-a|>R.
  • Fórmula de Cauchy–Hadamard (modo prático de achar R):
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}.
Explicação dessa fórmula em palavras: se os coeficientes c_n decaem muito rápido, a raiz enésima |c_n|^{1/n} tende para algo pequeno e R fica grande; se decaem devagar, R é pequeno. A definição via \limsup é a forma precisa que cobre todos os casos.

Passo 3

Por que dentro do disco |z-a|<R a série define uma função analítica.
  • Convergência absoluta e uniformidade em compactos: para qualquer raio r com 0<r<R, a série converge absolutamente e uniformemente em \{z:|z-a|\le r\}. Isso vem do teste da razão/raiz aplicado com r<R.
  • Consequência: soma da série é contínua e admite derivadas obtidas termo a termo. Mais precisamente, se
f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n\quad\text{para }|z-a|<R,
então podemos derivar termo a termo e obter
f'(z)=\sum_{n=1}^\infty n c_n (z-a)^{n-1},
essa série também converge para |z-a|<R. Assim f é complexamente diferenciável em todo ponto do disco, isto é, f é analítica em \{z:|z-a|<R\}.
  • Intuição prática para a prova: a uniformidade em compactos permite trocar soma e limite (derivada), que é o que garante diferenciabilidade complexa.

Passo 4

Relação entre R e singuralidades da função (por que o raio “marca” a distância à singularidade mais próxima).
  • Teorema (intuitivo e prático): o raio de convergência R é exatamente a distância do centro a até o ponto singular mais próximo da função analítica que a série representa. Em fórmula:
R=\inf\{\,|z-a|:\text{\(z\) é uma singularidade de }f\,\}.é
  • Justificativa (esboço): se f for analítica em |z-a|<\rho mas tiver singularidade em um ponto com |z-a|=\rho, então pela fórmula integral de Cauchy para os coeficientes
c_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-a|=r}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz
para qualquer r<\rho, obtemos estimativas que mostram que a série converge ao menos até r; fazendo r aproximar \rho chega‑se ao limite R=\rho. Por outro lado, se houvesse convergência fora do menor círculo que contém todas as singuralidades, isso contradiziria a existência da singularidade mais próxima. Em resumo: o primeiro obstáculo (em distância) a continuar f analiticamente a partir de a é uma singularidade e esse obstáculo dá o raio.

Passo 5

Exemplo concreto (resposta à parte (b)): escolha fácil e cálculo do raio.
  • Exemplo simples e didático: \displaystyle f(z)=\frac{1}{1-z}.
  • Série de Taylor em torno de 0 (a chamada série geométrica):
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n,\qquad\text{para }|z|<1.
  • Aqui os coeficientes são c_n=1 para todo n, então
\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=\limsup_{n\to\infty}1^{1/n}=1,
portanto pela fórmula de Cauchy–Hadamard
R=1.
  • A singularidade que determina esse raio é o ponto z=1, que fica à distância 1 de 0. De fato \frac{1}{1-z} tem um polo simples em z=1; isso impede que a série em torno de 0 convirja para |z|\ge 1. (Se preferir outro exemplo: \displaystyle \frac{1}{1+z^2} tem singularidades em z=\pm i, então a série em torno de 0 tem raio R=1 porque |\pm i-0|=1.)

Passo 6

O que significa isso para extensão analítica e fronteira natural (parte (c)).
  • Extensão analítica (o que é): dado f analítica num disco |z-a|<R, tentar estender f significa procurar uma função analítica F num conjunto maior que coincide com f no disco original. A extensão é possível até esbarrar numa singularidade verdadeira: não dá para “passar” por uma singularidade isolada localizada na trajetória de continuação.
  • Fronteira natural: chamamos de fronteira natural de f uma curva (por exemplo, o círculo |z-a|=R) se não for possível continuar analiticamente f através de nenhum ponto dessa fronteira. Em outras palavras, cada ponto da fronteira é um obstáculo real à continuação. Isso costuma acontecer quando há uma acumulação de singuralidades na fronteira.
  • Exemplos/intuitivo:
    • Se a única singularidade mais próxima é um polo isolado em um ponto da circunferência |z-a|=R, pode acontecer que se consiga continuar f ao redor desse polo (por caminhos que contornem o ponto), e portanto a fronteira circular não seja “natural” inteira; a extensão pode cobrir regiões fora do círculo exceto o ponto singular.
    • Se, em contraste, há singuralidades acumuladas densamente ao longo da circunferência |z-a|=R, então a circunferência é uma fronteira natural: não existe nenhum ponto da circunferência onde você consiga passar analyticamente. Um exemplo teórico (resultado clássico) são séries lacunares cujos expoentes saltam muito (por exemplo \sum_{k\ge0} z^{n_k} com crescendos rápidos de n_k); para muitas tais séries o círculo de convergência |z|=1 é uma fronteira natural (teoremas de Fabry / Hadamard sobre lacunas mostram isso).
  • Conexão final e prática para prova: o raio de convergência é a medida local (em termos de distância) até o primeiro problema analítico (singularidade). Se essa primeira barreira for “isolada”, a função pode às vezes ser continuada por caminhos que a contornem; se a barreira consistir de singuralidades densas, o disco de convergência tem uma fronteira natural e não existe continuação além dela. Portanto olhar os coeficientes (por exemplo usando \limsup|c_n|^{1/n} ou padrões de lacunas) dá informação sobre se existe ou não possibilidade de continuação analítica além do círculo de raio R.

Passo 7

Resumo didático de como usar isso numa prova (passo a passo prático, para você na hora da prova).
  • Passo A: calcule os coeficientes c_n da expansão em torno de a (ou reconheça uma expansão conhecida, como geométrica).
  • Passo B: aplique a fórmula de Cauchy–Hadamard \displaystyle \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n} para encontrar R.
  • Passo C: identifique pontos no plano complexos a distância R de a; esses pontos são candidatos a singuralidades que determinam o raio. Verifique se realmente a função tem singularidade em algum deles (polo, ramo, essencial).
  • Passo D: para discutir extensão analítica, pergunte se há singuralidades além desse(s) ponto(s) (isoladas) ou se há acumulação de singuralidades na fronteira; isso decide se existe fronteira natural ou se é possível continuar por caminhos ao redor de pontos isolados.
  • Dica prática: sempre pense geometricamente no disco |z-a|<R e na localização das singuralidades — é a maneira mais rápida de entender o que o raio significa.

Resposta

(a) O raio de convergência R é tal que a série \sum c_n(z-a)^n converge absolutamente para |z-a|<R e define aí uma função analítica; além disso
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n},
e R coincide com a distância de a até a singularidade mais próxima da função (essa singularidade é o primeiro obstáculo à continuação analítica).\n
(b) Exemplo: \displaystyle f(z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n para |z|<1. Aqui c_n=1, então \limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=1 e R=1. A singularidade que determina R é o polo em z=1, a distância 1 de 0.\n
(c) Se a fronteira |z-a|=R contém singuralidades isoladas, às vezes é possível continuar analiticamente f ao redor desses pontos; se a fronteira contém singuralidades acumuladas (por exemplo em séries lacunares), então ela é uma fronteira natural e não existe continuação analítica além do círculo. Em suma: o raio dá o primeiro limite de onde a função é analítica, e a natureza das singuralidades na fronteira decide se há ou não possibilidade de extensão analítica.

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