Para cada afirmação abaixo, indique se é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Quando for V, apresente uma breve justificativa matemática. Quando for \mathbf{F}), reescreva a afirmação corretamente e explique o erro conceitual.
Se uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} converge para x=x_{0}, então também converge para todos os x tais que |x-a|<\left|x_{0}-a\right|.

Passo 1

O enunciado diz: “Se uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} converge para x=x_{0}, então também converge para todos os x tais que |x-a|<\left|x_{0}-a\right|.”
Dados fornecidos: a série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} e um ponto x_{0} no qual a série converge.
Pergunta: a afirmação acima é verdadeira ou falsa? Se verdadeira, devemos justificar matematicamente por que a convergência em x_{0} implica convergência para todo x com |x-a|<|x_{0}-a|.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): raio de convergência.
Definimos o raio de convergência R de uma série de potências \sum c_{n}(x-a)^{n} pela fórmula
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} |c_{n}|^{1/n}},
com as convenções óbvias R=0 quando o denominador é \infty e R=+\infty quando o denominador é 0. Aqui \limsup_{n\to\infty} |c_{n}|^{1/n} é o limite superior das sequências |c_n|^{1/n}: intuitivamente, é o “maior limite acumulado” que essas raízes n-ésimas podem ter.
Propriedade fundamental: a série de potências converge absolutamente para todo x com |x-a|<R e diverge para todo x com |x-a|>R. No caso |x-a|=R a convergência depende dos coeficientes (pode convergir ou divergir).

Passo 3

Relacionando convergência em x_{0} com R.
Como a série converge em x_{0}, o teste da raiz aplicado aos termos c_{n}(x_{0}-a)^{n}
\limsup_{n\to\infty} \big|c_n (x_{0}-a)^n\big|^{1/n} = \big(\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}\big)\cdot |x_{0}-a|.
Se a série converge em x_{0}, então pelo teste da raiz esse limite superior é \le 1. Chamando L=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}, temos L\cdot |x_{0}-a|\le 1. Portanto
|x_{0}-a| \le \frac{1}{L} = R.
Ou seja: a convergência em x_{0} implica que x_{0} está no disco (fechado) de raio R centrado em a.

Passo 4

Agora pegue qualquer x com |x-a|<|x_{0}-a|. Como do passo anterior temos |x_{0}-a|\le R, segue a cadeia de desigualdades
|x-a| < |x_{0}-a| \le R.
Logo |x-a|<R. Pelas propriedades do raio de convergência, isto implica que a série \sum c_{n}(x-a)^{n} converge absolutamente em x. Portanto todo x com |x-a|<|x_{0}-a| é um ponto de convergência.

Passo 5

Intuição e exemplo rápido para fixar: pense na série geométrica \sum x^{n} (aqui a=0, c_{n}=1). O raio é R=1. Se convergir em x_{0}=0{,}8 (sim, converge), então automaticamente converge para qualquer x com |x|<0{,}8. Mesmo se a série só convergir em um ponto da fronteira (por exemplo, em algum caso particular x_{0} com |x_{0}-a|=R), pontos estritamente mais próximos do centro continuam a pertencer ao disco interior |x-a|<R e portanto terão convergência.

Passo 6

Conclusão e justificativa curta: a afirmação é verdadeira porque convergência em x_{0} implica |x_{0}-a|\le R, e qualquer x com |x-a|<|x_{0}-a| satisfaz |x-a|<R, o que garante convergência absoluta da série em x.

Resposta

V

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