(\mathbf{2 , 0}) A população de uma colônia de bactérias cresce continuamente a uma taxa proporcional ao número de indivíduos no instante t. Inicialmente, há 500 bactérias. Após 4 horas, observa-se que a população atinge 1500 bactérias.
(a) Determine a constante de crescimento k.
(b) Encontre a expressão P(t) da população.
(c) Estime a população após 8 horas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • População inicial: P(0)=500 (bactérias).
    • População após 4 horas: P(4)=1500 (bactérias).
    • A população cresce continuamente a uma taxa proporcional ao número de indivíduos no instante t. Isso significa que a taxa de variação instantânea da população é proporcional à própria população.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a constante de crescimento k.
    (b) Encontrar a expressão P(t) da população em função do tempo t (em horas).
    (c) Estimar a população após 8 horas, isto é calcular P(8).

Passo 2

Modelagem matemática e explicação do conceito.
Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, o modelo correto é a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=kP,
onde:
  • P=P(t) é a população no instante t,
  • k é a constante de proporcionalidade (constante de crescimento), com unidade \text{h}^{-1} (por hora),
  • \dfrac{dP}{dt} é a derivada de P em relação a t, ou seja a taxa instantânea de variação.
Esse é o modelo padrão de crescimento exponencial contínuo. A solução geral obtém-se separando variáveis e integrando. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Partindo de
\frac{dP}{dt}=kP,
separamos variáveis:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int\frac{dP}{P}=\int k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|P| e do direito é kt+C, onde C é constante de integração. Assim:
\ln|P|=kt+C.
Exponenciando ambos os lados (e como P>0 aqui, tiramos o valor absoluto):
P(t)=Ce^{kt},
onde C=e^{C} é uma constante positiva que corresponde à população no instante t=0. Em particular, aplicando t=0:
P(0)=Ce^{k\cdot 0}=C.
Portanto C=P(0).

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
Como P(0)=500, temos
C=500.
Logo a solução particular fica
P(t)=500\,e^{kt}.

Passo 5

Usar a informação P(4)=1500 para encontrar k.
Substituindo t=4 na solução:
1500=500\,e^{4k}.
Divide-se ambos os lados por 500:
3=e^{4k}.
Tomando logaritmo natural:
\ln 3 = 4k.
Isolando k:
k=\frac{1}{4}\ln 3.
Esse é o valor exato da constante. Podemos também dar um valor numérico aproximado:
k\approx\frac{1,098612289}{4}\approx0,274653072,
ou, arredondando razoavelmente,
k\approx0,27465\\ \text{h}^{-1}.
(Usei \ln 3\approx1,098612289.)

Passo 6

Escrever a expressão P(t) final e explicar formas equivalentes.
Substituindo k=\dfrac{1}{4}\ln 3 em P(t)=500e^{kt} obtemos
P(t)=500\,e^{\tfrac{1}{4}\ln 3\;t}.
Usando a propriedade de exponenciais e^{(\ln a)\,b}=a^{b}, podemos reescrever de forma mais simples:
P(t)=500\cdot 3^{t/4}.
Essa forma é muito prática para calcular potências em passos que são múltiplos de 4 horas.

Passo 7

Calcular P(8) (população após 8 horas).
Usando a forma P(t)=500\cdot 3^{t/4} com t=8:
P(8)=500\cdot 3^{8/4}=500\cdot 3^{2}=500\cdot 9=4500.
Portanto, após 8 horas espera-se haver 4500 bactérias.

Passo 8

Dica rápida para a prova (resumo dos passos a reproduzir):
  • Escreva o modelo \dfrac{dP}{dt}=kP.
  • Resolva por separação: P(t)=Ce^{kt}.
  • Use P(0) para achar C.
  • Use outro ponto dado (aqui P(4)) para achar k.
  • Substitua e calcule P(t) para o tempo pedido.

Resposta

(a) k=\dfrac{1}{4}\ln 3\approx0,27465\\ \text{h}^{-1}
(b) P(t)=500\cdot 3^{t/4} (equivalente a P(t)=500\,e^{(\tfrac{1}{4}\ln 3)\,t})
(c) P(8)=4500

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