A população de uma colônia de bactérias cresce continuamente a uma taxa proporcional ao número de indivíduos no instante
. Inicialmente, há 500 bactérias. Após 4 horas, observa-se que a população atinge 1500 bactérias.
(a) Determine a constante de crescimento
.
(b) Encontre a expressão
da população.
(c) Estime a população após 8 horas.
(a) Determine a constante de crescimento
(b) Encontre a expressão
(c) Estime a população após 8 horas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- População inicial:
(bactérias). - População após 4 horas:
(bactérias). - A população cresce continuamente a uma taxa proporcional ao número de indivíduos no instante
. Isso significa que a taxa de variação instantânea da população é proporcional à própria população.
- População inicial:
-
Perguntas:
(a) Determinar a constante de crescimento.
(b) Encontrar a expressãoda população em função do tempo (em horas).
(c) Estimar a população após 8 horas, isto é calcular.
Passo 2
Modelagem matemática e explicação do conceito.
Quando a taxa de crescimento é proporcional à população, o modelo correto é a equação diferencial
onde:
-
é a população no instante , -
é a constante de proporcionalidade (constante de crescimento), com unidade (por hora), -
é a derivada de em relação a , ou seja a taxa instantânea de variação.
Esse é o modelo padrão de crescimento exponencial contínuo. A solução geral obtém-se separando variáveis e integrando. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis.
Partindo de
separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e do direito é
, onde
é constante de integração. Assim:
Exponenciando ambos os lados (e como
aqui, tiramos o valor absoluto):
onde
é uma constante positiva que corresponde à população no instante
. Em particular, aplicando
:
Portanto
.
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
Como
, temos
Logo a solução particular fica
Passo 5
Usar a informação
para encontrar
.
Substituindo
na solução:
Divide-se ambos os lados por
:
Tomando logaritmo natural:
Isolando
:
Esse é o valor exato da constante. Podemos também dar um valor numérico aproximado:
ou, arredondando razoavelmente,
(Usei
.)
Passo 6
Escrever a expressão
final e explicar formas equivalentes.
Substituindo
em
obtemos
Usando a propriedade de exponenciais
, podemos reescrever de forma mais simples:
Essa forma é muito prática para calcular potências em passos que são múltiplos de 4 horas.
Passo 7
Calcular
(população após 8 horas).
Usando a forma
com
:
Portanto, após 8 horas espera-se haver
bactérias.
Passo 8
Dica rápida para a prova (resumo dos passos a reproduzir):
- Escreva o modelo
. - Resolva por separação:
. - Use
para achar . - Use outro ponto dado (aqui
) para achar . - Substitua e calcule
para o tempo pedido.
Resposta
(a)
(b) (equivalente a
)
(c)
(b)
(c)