Use integrais de Riemann para calcular a área das regiões R dadas abaixo:
R é a região delimitada pelas curvas y=0, y=e^{x}, x=1 e x=\ln 15.

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada pelas curvas y=0, y=e^{x}, x=1 e x=\ln 15. As perguntas implícitas são: (a) escrever a expressão que representa a área da região R usando integrais de Riemann; (b) calcular essa área explicitamente.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A região é verticalmente limitada por y=0 (embaixo) e por y=e^{x} (em cima).
  • A região é limitada lateralmente por x=1 (à esquerda) e por x=\ln 15 (à direita).
  • A função e^{x} é positiva em todo o intervalo considerado, então a área é simplesmente a integral da função de cima menos a de baixo.

Passo 2

Conceito usado (explicação didática sobre integrais de Riemann e área): para uma função contínua f(x)\ge0 em um intervalo [a,b], a área sob o gráfico de f e acima do eixo x entre x=a e x=b é definida como o limite de somas de Riemann:
\text{Área}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x,Á
onde o intervalo [a,b] está dividido em n subintervalos de largura \Delta x=\dfrac{b-a}{n} e x_i^* é um ponto qualquer do i-ésimo subintervalo. Esse limite, quando existe, é o valor da integral definida
\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
No caso de uma região entre duas curvas y=g(x) (acima) e y=h(x) (abaixo), ambas contínuas em [a,b], a área é
\int_{a}^{b} \bigl(g(x)-h(x)\bigr)\,dx.
Aplicando ao nosso caso: g(x)=e^{x}, h(x)=0, a=1, b=\ln 15. Portanto a área de R é
\text{Área}(R)=\int_{1}^{\ln 15} \bigl(e^{x}-0\bigr)\,dx=\int_{1}^{\ln 15} e^{x}\,dx.Á

Passo 3

Matéria usada para calcular a integral (Teorema Fundamental do Cálculo e primitiva de e^{x}): o Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se f é contínua em [a,b] e F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x) para todo x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No nosso caso, a função f(x)=e^{x} é contínua e tem a propriedade muito conveniente de que sua derivada é ela mesma:
\frac{d}{dx} e^{x} = e^{x},
portanto uma primitiva de e^{x} é F(x)=e^{x} (qualquer constante somada também é primitiva, mas ela se cancela na diferença F(b)-F(a)). Assim podemos aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 4

Avaliação da integral usando a primitiva: pela observação anterior,
\int_{1}^{\ln 15} e^{x}\,dx = \bigl.e^{x}\bigr|_{x=1}^{x=\ln 15} = e^{\ln 15} - e^{1}.
Agora simplificamos e^{\ln 15}. A função exponencial e^{x} e o logaritmo natural \ln x são funções inversas, logo
e^{\ln 15} = 15.
Portanto a área é
\text{Área}(R)=15 - e.Á

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: 15-e é um número positivo porque e\approx 2{,}718\dots e 15-e\approx 12{,}281\dots, ou seja a área faz sentido como quantidade positiva. Pronto — usamos a definição de integral via Riemann (conceito), escrevemos a integral apropriada para a região (topo menos base em relação a x) e aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para obter a resposta numérica exata.

Resposta

\,15-e\,

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