1 \mathbf{0}^{\mathbf{a}} Questão. Encontre uma base e determine a dimensão do subespaço
U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y-w=0, z-y=0\right\}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar uma base e determinar a dimensão do subespaço U definido por duas equações lineares em \mathbb{R}^4. As informações dadas são:
Ou seja, todo vetor (x,y,z,w) em U deve satisfazer as duas igualdades acima. A tarefa é (1) achar vetores que formem uma base de U e (2) informar \dim(U).
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): quando um subespaço é descrito por equações lineares, é prático resolver essas equações expressando algumas coordenadas em função de outras (parametrização). Os parâmetros livres correspondem a graus de liberdade do subespaço; o número de parâmetros livres costuma igualar a dimensão. Vou parametrizar as incógnitas, escrever um vetor genérico de U como combinação linear de vetores fixos e, com isso, extrair uma base e a dimensão.
Antes de começar, uma rápida revisão do que precisamos:
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) geram o subespaço (qualquer vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) são linearmente independentes (nenhum é combinação linear dos outros).
A dimensão é o número de vetores numa base (ou, equivalentemente, o número de parâmetros livres ao parametrizar o subespaço).
Passo 3
Vamos resolver as duas equações para eliminar variáveis dependentes. Das equações dadas:
x+y-w=0
z-y=0
isolamos x e z em função de y e w.
Da segunda equação:
z-y=0 \implies z=y.
Da primeira equação:
x+y-w=0 \implies x=-y+w.
Então qualquer vetor (x,y,z,w)\in U satisfaz
(x,y,z,w)=(-y+w,\; y,\; y,\; w).
Passo 4
Agora introduzimos parâmetros para deixar claro o formato de combinação linear. Seja s=y e t=w. Substituindo:
(x,y,z,w)=(-s+t,\; s,\; s,\; t).
Colocando em forma de combinação linear:
(x,y,z,w)=s(-1,1,1,0)+t(1,0,0,1).
Isto mostra que todo vetor de U é combinação linear dos dois vetores
v_1 = (-1,1,1,0),\qquad v_2=(1,0,0,1).
Portanto \{v_1,v_2\} gera U.
Passo 5
Agora precisamos verificar que v_1\) e \(v_2\) são linearmente independentes. Fazemos o teste padrão: suponha que existam escalares \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a\,v_1+b\,v_2 = (0,0,0,0).
Escrevendo por coordenadas:
a(-1,1,1,0)+b(1,0,0,1) = (0,0,0,0).
Isto gera o sistema por coordenadas:
\begin{cases} -a + b = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] a = 0,\\[4pt] b = 0. \end{cases}
Das componentes 2 e 3 obtemos imediatamente a=0\]; então da componente 1 vem \(b=0. Assim a=b=0 é a única solução, logo v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Como \{v_1,v_2\} gera U e é linearmente independente, é uma base de U.]
Passo 6
Dimensão: uma base de U tem exatamente 2 vetores, então
\dim(U)=2.
Como verificação alternativa (intuição): partimos de \mathbb{R}^4 e impusemos 2 equações lineares independentes, portanto a dimensão ficou 4-2=2.