S = \{\,x^{4}+x^{2},\; x^{3}-x,\; x^{2}-1\,\} \subset \mathbb{P}_{4}.
A pergunta é: o polinômio u pertence ao espaço gerado por S? Ou seja, existe combinação linear dos vetores de S que produza u? Listei as informações relevantes: os três polinômios geradores e o polinômio alvo u. Nada mais é pedido além de decidir se u está no span(S).
Passo 2
Estratégia escolhida (sem complicar): buscar escalares a,b,c tais que a combinação linear
a\,(x^{4}+x^{2}) + b\,(x^{3}-x) + c\,(x^{2}-1)
seja igual a u. Se acharmos a,b,c que satisfazem essa igualdade, então u pertence ao espaço gerado por S. Explicação rápida do porquê: dois polinômios são iguais como funções se, e só se, todos os coeficientes correspondentes das potências de x forem iguais — então podemos igualar coeficientes e resolver um sistema linear simples.
Conclusão didática e ânimo: encontramos coeficientes explícitos que mostram que u é combinação linear dos polinômios em S. Isso significa que u pertence ao span(S). Ótimo trabalho — a ideia chave para esse tipo de exercício é sempre tentar escrever o polinômio alvo como combinação linear dos geradores e igualar coeficientes. Isso vira automático com prática; segue firme!
Resposta
Sim. u = 1\cdot (x^{4}+x^{2}) + 0\cdot (x^{3}-x) -3\cdot (x^{2}-1).