\mathbf{8}^{\mathbf{a}} Questão. Determine se o vetor
u=x^{4}-2 x^{2}+3
pertence ao espaço gerado por
S=\left\{x^{4}+x^{2}, x^{3}-x, x^{2}-1\right\} \subset \mathbb{P}_{4}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
u = x^{4} - 2x^{2} + 3
e o conjunto
S = \{\,x^{4}+x^{2},\; x^{3}-x,\; x^{2}-1\,\} \subset \mathbb{P}_{4}.
A pergunta é: o polinômio u pertence ao espaço gerado por S? Ou seja, existe combinação linear dos vetores de S que produza u? Listei as informações relevantes: os três polinômios geradores e o polinômio alvo u. Nada mais é pedido além de decidir se u está no span (S).

Passo 2

Estratégia escolhida (sem complicar): buscar escalares a,b,c tais que a combinação linear
a\,(x^{4}+x^{2}) + b\,(x^{3}-x) + c\,(x^{2}-1)
seja igual a u. Se acharmos a,b,c que satisfazem essa igualdade, então u pertence ao espaço gerado por S. Explicação rápida do porquê: dois polinômios são iguais como funções se, e só se, todos os coeficientes correspondentes das potências de x forem iguais — então podemos igualar coeficientes e resolver um sistema linear simples.

Passo 3

Escrevo a igualdade pedida:
a\,(x^{4}+x^{2}) + b\,(x^{3}-x) + c\,(x^{2}-1) = x^{4} - 2x^{2} + 3.
Aqui a,b,c são números reais (escalares) desconhecidos que vamos determinar.

Passo 4

Faço a expansão e agrupo termos por potências de x:
a x^{4} + a x^{2} + b x^{3} - b x + c x^{2} - c.
Agrupando coeficientes por potência de x fica:
a x^{4} + b x^{3} + (a + c) x^{2} + (-b) x + (-c).

Passo 5

Agora igualo coeficientes desse polinômio com os coeficientes de [u = x^{4} - 2x^{2} + 3). Comparando termo a termo obtemos o sistema:
\begin{cases} a = 1,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a + c = -2,\\[4pt] -b = 0,\\[4pt] -c = 3. \end{cases}
Observação: algumas equações são repetitivas (por exemplo b=0\] e \(-b=0 dizem a mesma coisa), mas está tudo explícito.]

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação vem a = 1.
  • Da segunda (ou quarta) vem b = 0.
  • Usando a=1 na terceira equação a + c = -2 obtemos 1 + c = -2, então c = -3.
  • A quinta equação é -c = 3, que confirma c = -3.
Portanto a solução é a=1, b=0, c=-3.

Passo 7

Verificação e forma explícita da combinação: com esses coeficientes temos
1\cdot (x^{4}+x^{2}) + 0\cdot (x^{3}-x) -3\cdot (x^{2}-1)
e calculando:
(x^{4}+x^{2}) -3(x^{2}-1) = x^{4} + x^{2} -3x^{2} + 3 = x^{4} -2x^{2} + 3,
que é exatamente u. Então a conta fecha.

Passo 8

Conclusão didática e ânimo: encontramos coeficientes explícitos que mostram que u é combinação linear dos polinômios em S. Isso significa que u pertence ao span (S). Ótimo trabalho — a ideia chave para esse tipo de exercício é sempre tentar escrever o polinômio alvo como combinação linear dos geradores e igualar coeficientes. Isso vira automático com prática; segue firme!

Resposta

Sim. u = 1\cdot (x^{4}+x^{2}) + 0\cdot (x^{3}-x) -3\cdot (x^{2}-1).

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