Questão: Sendo
um vetor no espaço, determine os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
e
são ortogonais ao eixo
;
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para determinar vetores
e
que satisfaçam a exigência:
e
são ortogonais ao eixo
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- o vetor dado é
; - a única exigência explícita para
e é que ambos sejam ortogonais ao eixo .
Passo 2
O que significa ser “ortogonal ao eixo
”? Seja o eixo
representado pelo vetor direção unitário
Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar (ou produto interno) é zero. Para vetores em
definimos o produto escalar assim:
Portanto, um vetor
é ortogonal ao eixo
quando
Passo 3
Escrevemos um vetor genérico
como
com
. Aplicando a condição de ortogonalidade a
temos
Para que o produto escalar seja zero precisamos de
. Conclusão: todo vetor ortogonal ao eixo
tem primeira componente zero.
Passo 4
Então a forma geral de qualquer vetor ortogonal ao eixo
é
com
. Isso descreve o plano formado pelos vetores com componente
nula — ou seja, o plano
.
Passo 5
Para ter dois vetores
e
que satisfaçam a condição e que sejam “úteis” (por exemplo, linearmente independentes, formarem uma base do plano ortogonal a
), basta escolher dois vetores distintos da forma
que não sejam múltiplos um do outro. Uma escolha natural e simples (canônica) é pegar os vetores que apontam nas direções dos eixos
e
:
Verificações rápidas: cada um tem primeira componente zero, logo são ortogonais a
; o produto escalar entre eles é
logo são também ortogonais entre si e são linearmente independentes.
Passo 6
Comentário didático extra (útil na prova): se você precisar decompor
em uma parte paralela a
e outra ortogonal a
, a parte paralela é a projeção de
em
,
e a parte ortogonal ao eixo
é
, que está na forma
como discutimos.