\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: Sendo u=(3,5,0) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
v_{1} e v_{2} são ortogonais ao eixo O X;

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{u}=(3,5,0) e pede para determinar vetores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} que satisfaçam a exigência: \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são ortogonais ao eixo OX.
Informações relevantes que temos:
  • o vetor dado é \mathbf{u}=(3,5,0);
  • a única exigência explícita para \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} é que ambos sejam ortogonais ao eixo OX.

Passo 2

O que significa ser “ortogonal ao eixo OX”? Seja o eixo OX representado pelo vetor direção unitário
\mathbf{e}_{x}=(1,0,0).
Dois vetores são ortogonais quando seu produto escalar (ou produto interno) é zero. Para vetores em \mathbb{R}^{3} definimos o produto escalar assim:
(a,b,c)\cdot(x,y,z)=ax+by+cz.
Portanto, um vetor \mathbf{v} é ortogonal ao eixo OX quando
\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{x}=0.

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico \mathbf{v} como
\mathbf{v}=(\alpha,\beta,\gamma),
com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Aplicando a condição de ortogonalidade a \mathbf{e}_{x} temos
\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{x}=(\alpha,\beta,\gamma)\cdot(1,0,0)=\alpha.
Para que o produto escalar seja zero precisamos de \alpha=0. Conclusão: todo vetor ortogonal ao eixo OX tem primeira componente zero.

Passo 4

Então a forma geral de qualquer vetor ortogonal ao eixo OX é
\mathbf{v}=(0,y,z),
com y,z\in\mathbb{R}. Isso descreve o plano formado pelos vetores com componente x nula — ou seja, o plano yz.

Passo 5

Para ter dois vetores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} que satisfaçam a condição e que sejam “úteis” (por exemplo, linearmente independentes, formarem uma base do plano ortogonal a OX), basta escolher dois vetores distintos da forma (0,y,z) que não sejam múltiplos um do outro. Uma escolha natural e simples (canônica) é pegar os vetores que apontam nas direções dos eixos y e z:
(0,1,0)\quad\text{e}\quad(0,0,1).
Verificações rápidas: cada um tem primeira componente zero, logo são ortogonais a OX; o produto escalar entre eles é
(0,1,0)\cdot(0,0,1)=0,
logo são também ortogonais entre si e são linearmente independentes.

Passo 6

Comentário didático extra (útil na prova): se você precisar decompor \mathbf{u}=(3,5,0) em uma parte paralela a OX e outra ortogonal a OX, a parte paralela é a projeção de \mathbf{u} em \mathbf{e}_{x},
\text{proj}_{\mathbf{e}_{x}}\mathbf{u}=\big((\mathbf{u}\cdot\mathbf{e}_{x})/(\mathbf{e}_{x}\cdot\mathbf{e}_{x})\big)\mathbf{e}_{x}=(3,0,0),
e a parte ortogonal ao eixo OX é \mathbf{u}-(3,0,0)=(0,5,0), que está na forma (0,y,z) como discutimos.

Resposta

(0,1,0)
(0,0,1)

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