Questão: Sendo
um vetor no espaço, determine os vetores
e
que cumprem as seguintes exigências:
;
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para determinar vetores
e
tais que
Informações relevantes que temos:
- O vetor
tem componentes , e . - A condição pedida é uma igualdade envolvendo o produto escalar entre
e cada vetor procurado. - Não há uma única solução: existe um conjunto infinito de vetores que satisfazem
. A tarefa é dar dois vetores distintos que satisfaçam essa condição.
Passo 2
Vamos relembrar o que é o produto escalar em
. Para dois vetores
o produto escalar
é definido por
Aqui cada
e
é a componente correspondente dos vetores. O produto escalar é linear e tem as propriedades que vamos usar: se um vetor
é ortogonal a
(ou seja,
), então
.
Passo 3
Escrevemos um vetor genérico
e impomos a condição do enunciado:
A condição
vira, portanto,
Observe que
não aparece nessa igualdade:
é livre. Isso mostra que o conjunto de soluções é um plano afim no espaço, com dois graus de liberdade (por exemplo, podemos escolher
e
arbitrariamente e resolver
).
Uma forma prática de parametrizar é resolver para
:
logo qualquer vetor solução pode ser escrito como
com
e
quaisquer.
Passo 4
Uma maneira simples de obter uma solução é procurar um vetor paralelo a
, ou seja
para algum escalar
. Nesse caso
onde
. Calculamos
:
Para ter
precisamos de
Passo 5
Agora escrevemos explicitamente
com
:
Esse é um vetor que satisfaz
. Vamos depois checar numericamente.
Passo 6
Para obter um segundo vetor
diferente, usamos a observação de que
é livre na parametrização geral. Uma escolha muito simples para criar uma solução distinta é acrescentar um vetor que seja ortogonal a
. Por exemplo, o vetor
é ortogonal a
porque
Se
é uma solução, então
também é solução, pois
Tomamos, então,
Passo 7
Verificação direta (para ter certeza, faça as contas):
- Para
:
- Para
:
Portanto ambos satisfazem a condição pedida.