\mathbf{4}^{\mathbf{a}} Questão: Sendo u=(3,5,0) um vetor no espaço, determine os vetores v_{1} e v_{2} que cumprem as seguintes exigências:
u \cdot v_{1}=u \cdot v_{2}=12;

Passo 1

O enunciado dá o vetor u=(3,5,0) e pede para determinar vetores v_{1} e v_{2} tais que
u\cdot v_{1}=12 \qquad\text{e}\qquad u\cdot v_{2}=12.
Informações relevantes que temos:
  • O vetor u tem componentes 3, 5 e 0.
  • A condição pedida é uma igualdade envolvendo o produto escalar entre u e cada vetor procurado.
  • Não há uma única solução: existe um conjunto infinito de vetores que satisfazem u\cdot v=12. A tarefa é dar dois vetores distintos que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Vamos relembrar o que é o produto escalar em \mathbb{R}^{3}. Para dois vetores
a=(a_{1},a_{2},a_{3}),\qquad b=(b_{1},b_{2},b_{3}),
o produto escalar a\cdot b é definido por
a\cdot b = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Aqui cada a_{i} e b_{i} é a componente correspondente dos vetores. O produto escalar é linear e tem as propriedades que vamos usar: se um vetor w é ortogonal a u (ou seja, u\cdot w=0), então u\cdot(v+w)=u\cdot v.

Passo 3

Escrevemos um vetor genérico v=(x,y,z) e impomos a condição do enunciado:
u\cdot v = (3,5,0)\cdot(x,y,z)=3x+5y+0\cdot z=3x+5y.
A condição u\cdot v=12 vira, portanto,
3x+5y=12.
Observe que z não aparece nessa igualdade: z é livre. Isso mostra que o conjunto de soluções é um plano afim no espaço, com dois graus de liberdade (por exemplo, podemos escolher y e z arbitrariamente e resolver x).
Uma forma prática de parametrizar é resolver para x:
x=\frac{12-5y}{3},
logo qualquer vetor solução pode ser escrito como
v=\left(\frac{12-5y}{3},\,y,\,z\right),
com y e z quaisquer.

Passo 4

Uma maneira simples de obter uma solução é procurar um vetor paralelo a u, ou seja v_{p}=t\,u para algum escalar t. Nesse caso
u\cdot v_{p} = u\cdot(tu) = t\,(u\cdot u) = t\,\|u\|^{2},
onde \|u\|^{2}=u\cdot u. Calculamos \|u\|^{2}:
\|u\|^{2}=3^{2}+5^{2}+0^{2}=9+25+0=34.
Para ter u\cdot v_{p}=12 precisamos de
t\cdot 34 = 12 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{12}{34}=\frac{6}{17}.

Passo 5

Agora escrevemos explicitamente v_{1}=t\,u com t=\frac{6}{17}:
v_{1}=\frac{6}{17}(3,5,0)=\left(\frac{18}{17},\,\frac{30}{17},\,0\right).
Esse é um vetor que satisfaz u\cdot v_{1}=12. Vamos depois checar numericamente.

Passo 6

Para obter um segundo vetor v_{2} diferente, usamos a observação de que z é livre na parametrização geral. Uma escolha muito simples para criar uma solução distinta é acrescentar um vetor que seja ortogonal a u. Por exemplo, o vetor w=(0,0,1) é ortogonal a u porque
u\cdot w = 3\cdot 0 + 5\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Se v_{1} é uma solução, então v_{1}+w também é solução, pois
u\cdot(v_{1}+w)=u\cdot v_{1}+u\cdot w=12+0=12.
Tomamos, então,
v_{2}=v_{1}+(0,0,1)=\left(\frac{18}{17},\,\frac{30}{17},\,1\right).

Passo 7

Verificação direta (para ter certeza, faça as contas):
  • Para v_{1}:
u\cdot v_{1}=3\cdot\frac{18}{17}+5\cdot\frac{30}{17}+0\cdot 0 =\frac{54}{17}+\frac{150}{17}=\frac{204}{17}=12.
  • Para v_{2}:
u\cdot v_{2}=u\cdot v_{1}+u\cdot(0,0,1)=12+0=12.
Portanto ambos satisfazem a condição pedida.

Resposta

\displaystyle v_{1}=\left(\frac{18}{17},\,\frac{30}{17},\,0\right)
\displaystyle v_{2}=\left(\frac{18}{17},\,\frac{30}{17},\,1\right)

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