\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão) Um tubo com diâmetro de 914 mm é utilizado para transportar ar num túnel de vento. Um teste no equipamento mostrou que a queda de pressão do escoamento de ar num trecho de tubo com 457,2 \mathrm{~m} é de 38,1 \mathrm{~mm} de coluna d’água quando a vazão no tubo é de 4,25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. O valor da viscosidade cinemática é 1,455.10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine: a) o valor do fator de atrito (f) turbulento neste escoamento; b) o valor da rugosidade relativa da superfície interna do tubo; c) o valor da rugosidade absoluta do tubo; d) determine o (s) tipo (s) de material (is) que este tubo pode ser confeccionado.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: D=914\\ \mathrm{mm}=0,914\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do trecho avaliado: L=457{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Queda de pressão medida: 38{,}1\\ \mathrm{mm} de coluna d’água (isto é, 38{,}1\\ \mathrm{mm} de água).
  • Vazão volumétrica: Q=4{,}25\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Viscosidade cinemática do ar: \nu = 1{,}455\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
O que o problema pede:
(a) o valor do fator de atrito f (assumir escoamento turbulento);
(b) o valor da rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D} da superfície interna do tubo;
(c) o valor da rugosidade absoluta \varepsilon (em metros e em mm);
(d) indicar tipo(s) de material cuja rugosidade seja compatível com o valor encontrado.
Observação necessária (não fornecida no enunciado): para relacionar a queda de pressão (dada em mm de coluna d’água) com a perda de carga da equação de Darcy–Weisbach é preciso usar a densidade do fluido que está escoando (ar). Vou assumir densidade típica do ar em condições normais \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Se o problema exigir outro valor, os resultados mudam um pouco; sigo com \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 2

Calcular a velocidade média V a partir da vazão Q.
Fórmulas e explicação:
  • Área da seção circular: A=\frac{\pi D^{2}}{4},
onde D é o diâmetro do tubo e A tem unidades de \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média: V=\frac{Q}{A},
onde Q é a vazão volumétrica.
Cálculos:
A=\frac{\pi (0,914)^{2}}{4}\approx 0,65612\\ \mathrm{m^{2}}.
V=\frac{4{,}25}{0,65612}\approx 6{,}4806\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: calcular V é básico — primeiro acha-se a área do tubo e depois divide-se a vazão pela área. A unidade checada: \mathrm{m^{3}/s}/\mathrm{m^{2}}=\mathrm{m/s}.

Passo 3

Determinar o número de Reynolds Re para verificar o regime (laminar/turbulento).
Fórmula e explicação:
Re=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média ( \mathrm{m/s}), D o diâmetro ( \mathrm{m}) e \nu a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^{2}/s}). O número de Reynolds é adimensional e indica o regime: tipicamente Re<2000 laminar, Re>4000 turbulento; entre esses valores é transição.
Cálculo:
Re=\frac{6{,}4806\cdot 0,914}{1{,}455\cdot10^{-5}} \approx 4{,}076\times 10^{5}.
Interpretação: Re\approx 4{,}08\cdot10^{5}, portanto o escoamento é totalmente turbulento. Logo faz sentido pedir o fator de atrito turbulento.

Passo 4

Converter a queda de pressão dada em \mathrm{mm} de coluna d’água para pressão em pascal (\mathrm{Pa}).
Explicação:
  • A queda dada, 38{,}1\\ \mathrm{mm} de coluna d’água, corresponde a uma altura de água h_{w}=0{,}0381\\ \mathrm{m}.
  • A pressão equivalente é \Delta p=\rho_{\text{água}}\,g\,h_{w}á, com \rho_{\text{água}}\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Cálculo:
\Delta p = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0381 \approx 373{,}46\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: a leitura do manômetro em mm de água dá uma pressão; essa pressão é a mesma interfísica independentemente do fluido do tubo — é uma diferença de pressão absoluta em Pa. Para usar Darcy–Weisbach em forma de pressão usa-se \Delta p.

Passo 5

Calcular o fator de atrito f a partir da equação de Darcy–Weisbach em forma de pressão.
Fórmula e explicação:
  • A forma em termos de diferença de pressão é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde \Delta p é a perda de carga em pascal, L comprimento, D diâmetro, \rho densidade do fluido (air), V velocidade média, e f é o fator de atrito de Darcy (adimensional).
  • Despejando f:
f = \frac{\Delta p}{\rho}\,\frac{2D}{L\,V^{2}}.
Aqui usei \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} (assunção para o ar).
Cálculo numérico:
f=\frac{373{,}46}{1{,}2}\cdot\frac{2\cdot 0{,}914}{457{,}2\cdot (6{,}4806)^{2}}.
Vamos calcular passo a passo:
\frac{\Delta p}{\rho}=\frac{373{,}46}{1{,}2}\approx 311{,}22\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})},
V^{2}\approx (6{,}4806)^{2}\approx 41{,}998\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})},
\frac{2D}{L}=\frac{2\cdot 0{,}914}{457{,}2}\approx 0{,}003997.
Multiplicando tudo:
f \approx 311{,}22\cdot\frac{0{,}003997}{41{,}998}\approx 0{,}02963.
Conclusão: f\approx 0{,}0296.
Comentário didático: este é um valor típico de escoamento turbulento em tubos com alguma rugosidade. Note que usar a forma da equação com \Delta p evita conversão intermedária de “head de ar” — só é preciso a densidade do ar para relacionar pressão e energia dinâmica.

Passo 6

Determinar a rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D} usando a equação de Colebrook (inversa).
Explicação da equação de Colebrook:
  • Para escoamento turbulento em tubo rugoso a equação implícita de Colebrook relaciona f, Re e \varepsilon/D:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{Re\,\sqrt{f}}\right).
  • Essa equação é implícita em f em geral; aqui já conhecemos f (obtido no passo anterior) e Re, então podemos isolar \varepsilon/D.
Isolando \varepsilon/D:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}} = 10^{-\,\frac{1}{2\sqrt{f}}}
ou escrevendo com A=\dfrac{1}{\sqrt{f}}:
\frac{\varepsilon}{D} = 3{,}7\!\left(10^{-A/2} - \frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\right).
Cálculo numérico (usando f\approx 0{,}02963 e Re\approx 4{,}076\cdot10^{5}):
\sqrt{f}\approx 0{,}17218,\qquad A=\frac{1}{\sqrt{f}}\approx 5{,}806.
10^{-A/2}=10^{-2{,}903}\approx 0{,}0012503.
\frac{2{,}51}{Re\sqrt{f}}\approx \frac{2{,}51}{4{,}076\cdot10^{5}\cdot 0{,}17218}\approx 3{,}576\cdot10^{-5}.
\frac{\varepsilon}{D} = 3{,}7\left(0{,}0012503 - 0{,}00003576\right)\approx 3{,}7\cdot 0{,}0012145 \approx 0{,}0044926.
Resultado: \dfrac{\varepsilon}{D}\approx 0{,}004493 (adimensional).
Comentário didático: a Colebrook é a relação clássica que combina efeito da rugosidade (primeiro termo) e efeito viscoso/turbulento (segundo termo). Aqui como Re é grande, o segundo termo é pequeno, então \varepsilon/D é aproximadamente 3{,}7\cdot 10^{-A/2}, mas subtraímos o pequeno termo viscous para precisão.

Passo 7

Calcular a rugosidade absoluta \varepsilon e interpretar resultados comparando com valores típicos de materiais.
Cálculo:
\varepsilon = \frac{\varepsilon}{D}\cdot D \approx 0{,}0044926\cdot 0{,}914 \approx 0{,}004106\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
\varepsilon \approx 0{,}004106\\ \mathrm{m} = 4{,}106\\ \mathrm{mm}.
Interpretação / comparação com valores típicos (tabelas padrão):
  • Tubos de aço comercial novo: \varepsilon\approx 0{,}045\\ \mathrm{mm} (muito menor que 4{,}1 mm).
  • Tubos de ferro fundido (novos): \varepsilon\approx 0{,}26\\ \mathrm{mm} (ainda muito menor).
  • Concreto áspero, túneis rochosos, tubos corrugados ou antigos com revestimento muito irregular podem ter \varepsilon da ordem de 1\\ \text{mm} até vários mm.
Conclusão prática: \varepsilon\approx 4{,}11\\ \mathrm{mm} é uma rugosidade absoluta bastante elevada — compatível com superfícies muito rugosas como tubos corrugados, chapas metálicas corrugadas, ou condutos danificados/fortemente corroídos, ou ainda trechos com junta/irregularidade grosseira. Não é compatível com tubos de aço lisos (que têm rugosidade centenas de vezes menor).

Passo 8

Resumo da plausibilidade e observações finais (motivação para a prova).
  • O escoamento é turbulento ( Re\approx 4{,}08\cdot10^{5}), portanto é correto usar a equação de Colebrook para relacionamento entre f, Re e \varepsilon/D.
  • Ao calcular f foi necessário converter a leitura do manômetro (mm de água) para \Delta p em pascal e usar a densidade do ar; assumi \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Se \rho diferente for adotado, f muda um pouco (proporcionalmente).
  • O valor de rugosidade absoluta obtido ( \approx 4{,}11\\ \mathrm{mm}) indica um tubo muito rugoso; por isso os materiais compatíveis seriam condutos corrugados, concreto muito rugoso ou superfícies danificadas/fortemente corroídas. Tubos de aço comerciais novos são incompatíveis com esse valor.

Resposta

(a) f \approx 0{,}0296
(b) \dfrac{\varepsilon}{D} \approx 0{,}004493
(c) \varepsilon \approx 0{,}004106\\ \mathrm{m} \approx 4{,}106\\ \mathrm{mm}
(d) Materiais compatíveis: tubos corrugados/metálicos corrugados, condutos muito corroídos ou danificados, concreto muito rugoso ou revestimentos fortemente irregulares (não compatível com aço liso comercial nem com tubos novos de ferro fundido)

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