Se \mathbf{R}^{\prime}(t)=e^{\prime} \operatorname{sen} t \mathbf{i}+e^{t} \cos t \mathbf{j} e \mathbf{R}(0)=\mathbf{i}-\mathbf{j}, ache \mathbf{R}(t).

Passo 1

O enunciado dá
\mathbf R'(t)=e^{t}\sin t\,\mathbf i + e^{t}\cos t\,\mathbf j
e a condição inicial \mathbf R(0)=\mathbf i-\mathbf j.
Precisamos integrar cada componente de \mathbf R'(t) para obter \mathbf R(t) e depois ajustar constantes usando \mathbf R(0).

Passo 2

Calcular a primitiva de e^{t}\sin t. Usando integração por partes duas vezes ou o método de equações lineares, obtém-se
\int e^{t}\sin t\,dt = \frac{e^{t}}{2}(\sin t - \cos t) + C_{1}.

Passo 3

De modo análogo, para e^{t}\cos t temos
\int e^{t}\cos t\,dt = \frac{e^{t}}{2}(\sin t + \cos t) + C_{2}.

Passo 4

Logo, a solução geral é
\mathbf R(t) = \Bigl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t - \cos t) + A\Bigr)\mathbf i + \Bigl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t + \cos t) + B\Bigr)\mathbf j,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Usando \mathbf R(0)=\mathbf i - \mathbf j, temos \sin0=0, \cos0=1, e^{0}=1, então
x(0)=\frac{1}{2}(0-1)+A=-\tfrac12+A=1 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac32,
y(0)=\frac{1}{2}(0+1)+B=\tfrac12+B=-1 \quad\Longrightarrow\quad B=-\tfrac32.

Passo 6

Substituindo A=\tfrac32 e B=-\tfrac32 em \mathbf R(t), obtemos
\mathbf R(t) = \biggl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t - \cos t) + \frac{3}{2}\biggr)\mathbf i + \biggl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t + \cos t) - \frac{3}{2}\biggr)\mathbf j.

Resposta

\mathbf R(t) = \left(\frac{e^{t}}{2}(\sin t - \cos t) + \frac{3}{2}\right)\mathbf i + \left(\frac{e^{t}}{2}(\sin t + \cos t) - \frac{3}{2}\right)\mathbf j.

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