Se \mathbf{R}^{\prime}(t)=\operatorname{sen}^{2} t \mathbf{i}+2 \cos ^{2} t \mathbf{j} e \mathbf{R}(\pi)=0, ache \mathbf{R}(t).

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função vetorial \mathbf{R}(t) em \mathbb{R}^2:
\mathbf{R}'(t)=\sin^2 t\,\mathbf{i}+2\cos^2 t\,\mathbf{j},
e informa a condição inicial \mathbf{R}(\pi)=\mathbf{0}. O conteúdo aqui é integrar componente a componente para encontrar a primitiva vetorial e depois ajustar as constantes usando a condição em t=\pi.

Passo 2

Integramos cada componente de \mathbf{R}'(t) em relação a t, introduzindo constantes de integração C_1 e C_2.
Para a componente \mathbf{i}:
\int \sin^2 t\,dt =\int \frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt =\frac{t}{2}-\frac{\sin(2t)}{4}+C_1.
Para a componente \mathbf{j}:
\int 2\cos^2 t\,dt =2\int \frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt =\int\bigl(1+\cos(2t)\bigr)\,dt =t+\frac{\sin(2t)}{2}+C_2.
Logo, a primitiva geral é
\mathbf{R}(t) =\Bigl(\tfrac{t}{2}-\tfrac{\sin(2t)}{4}+C_1\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(t+\tfrac{\sin(2t)}{2}+C_2\Bigr)\mathbf{j}.

Passo 3

Impondo a condição \mathbf{R}(\pi)=\mathbf{0}, avaliamos em t=\pi. Como \sin(2\pi)=0, fica
\mathbf{R}(\pi) =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+C_1\Bigr)\mathbf{i} +\bigl(\pi +C_2\bigr)\mathbf{j} =\mathbf{0},
o que dá o sistema
\tfrac{\pi}{2}+C_1=0, \quad \pi+C_2=0.
Portanto
C_1=-\tfrac{\pi}{2}, \quad C_2=-\pi.

Passo 4

Substituindo C_1 e C_2 na primitiva geral, obtemos a solução particular que satisfaz \mathbf{R}(\pi)=\mathbf{0}:
\mathbf{R}(t) =\Bigl(\tfrac{t}{2}-\tfrac{\sin(2t)}{4}-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\mathbf{i} +\Bigl(t+\tfrac{\sin(2t)}{2}-\pi\Bigr)\mathbf{j}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{R}(t) =\Bigl(\tfrac{t}{2}-\tfrac{\sin(2t)}{4}-\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\,\mathbf{i} +\Bigl(t+\tfrac{\sin(2t)}{2}-\pi\Bigr)\,\mathbf{j}.

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