\mathbf{2}^{\text {a }} Questão (valor \mathbf{2 , 0} pontos); Determinar analítica ou graficamente, o número de dentes e o fator de contato de um par de engrenagens cilindricas de dentes retos com relação de transmissão 2,4 , módulo 8 e distância entre centros de 340 mm .

Passo 1

Enunciado e dados importantes: temos um par de engrenagens cilíndricas de dentes retos com relação de transmissão 2{,}4, módulo m=8 mm e distância entre centros a=340 mm. O enunciado pede: (1) determinar o número de dentes de cada engrenagem e (2) determinar o fator de contato (razão de contato) do par.
Observação necessária: o ângulo de pressão não foi informado; usarei o valor padrão \varphi = 20^\circ (se for outro valor, o procedimento é o mesmo, muda apenas o número final do fator de contato).

Passo 2

Relação entre módulo, números de dentes e distância entre centros. A circunferência primitiva de uma engrenagem tem raio r dado por
r = \frac{m z}{2},
onde z é o número de dentes. A distância entre centros para duas engrenagens é
a = \frac{m(z_1+z_2)}{2}.
Vou usar essa equação para ligar z_1 e z_2 com a e m.

Passo 3

Calcular a soma dos números de dentes a partir da distância entre centros:
z_1+z_2=\frac{2a}{m}.
Substituindo a=340 mm e m=8 mm:
z_1+z_2=\frac{2\cdot 340}{8}=\frac{680}{8}=85.
Portanto z_1+z_2=85.

Passo 4

Usar a relação da razão de transmissão. A razão dada é
i=\frac{z_2}{z_1}=2{,}4.
Resolve-se o sistema z_1+z_2=85 e z_2=2{,}4\,z_1. Substituindo:
z_1+2{,}4\,z_1=85 \quad\Rightarrow\quad 3{,}4\,z_1=85.
Logo
z_1=\frac{85}{3{,}4}=25.
E
z_2=2{,}4\cdot 25=60.
Verificação rápida: 25+60=85 e 60/25=2{,}4. Os números de dentes são inteiros e consistentes com o módulo e a distância entre centros.

Passo 5

Calcular os raios primitivos (checagem)
r_1=\frac{m z_1}{2}=\frac{8\cdot 25}{2}=100\\ \text{mm},
r_2=\frac{m z_2}{2}=\frac{8\cdot 60}{2}=240\\ \text{mm}.
Confirmação da distância entre centros:
r_1+r_2=100+240=340\\ \text{mm}=a.

Passo 6

Definição do fator de contato (razão de contato) transversal \varepsilon_\alpha. Ele é dado por
\varepsilon_\alpha=\frac{L}{p_b},
onde L é o comprimento de ação sobre a linha de ação e p_b é o passo base (base pitch). O passo base é
p_b=\pi m\cos\varphi.
A expressão prática para L (comprimento de ação projetado sobre a linha de ação) é
L=\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}+\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}-a\sin\varphi,
onde r_{a} é o raio da circunferência externa (círculo de cabeça) e r_{b} é o raio da circunferência de base. Vou explicar cada quantia e depois calcular numericamente.

Passo 7

Definições usadas e fórmulas auxiliares:
  • raio primitivo r_i já calculado;
  • addendum padrão (dente de altura de cabeça) para módulo métrico de engrenagens de passo inteiro é a_t = m, logo
r_{ai}=r_i+m.
  • raio da circunferência de base
r_{bi}=r_i\cos\varphi.
Agora calculo numericamente com \varphi=20^\circ. Primeiro o cosseno e seno:
\cos20^\circ\approx 0{,}9396926208,\qquad \sin20^\circ\approx 0{,}3420201433.
Raios de cabeça:
r_{a1}=r_1+m=100+8=108\\ \text{mm},
r_{a2}=r_2+m=240+8=248\\ \text{mm}.
Raios de base:
r_{b1}=r_1\cos\varphi=100\cdot 0{,}9396926208\approx 93{,}96926208\\ \text{mm},
r_{b2}=r_2\cos\varphi=240\cdot 0{,}9396926208\approx 225{,}52622899\\ \text{mm}.

Passo 8

Calcular as duas raízes presentes em L:
\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}=\sqrt{108^2-(100\cos20^\circ)^2}.
Usando (100\cos20^\circ)^2=10000\cos^2 20^\circ\approx 8830{,}2222156 e 108^2=11664, temos
r_{a1}^2-r_{b1}^2\approx 11664-8830{,}2222156=2833{,}7777844,
\sqrt{r_{a1}^2-r_{b1}^2}\approx 53{,}2189\\ \text{mm}.
Agora para a engrenagem maior:
\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}=\sqrt{248^2-(240\cos20^\circ)^2}.
Usando 248^2=61504 e (240\cos20^\circ)^2=57600\cos^2 20^\circ\approx 50862{,}0799618, temos
r_{a2}^2-r_{b2}^2\approx 61504-50862{,}0799618=10641{,}9200382,
\sqrt{r_{a2}^2-r_{b2}^2}\approx 103{,}1598\\ \text{mm}.

Passo 9

Calcular a\sin\varphi e o comprimento de ação L:
a\sin\varphi=340\cdot \sin20^\circ\approx 340\cdot 0{,}3420201433\approx 116{,}2868\\ \text{mm}.
Logo
L\approx 53{,}2189+103{,}1598-116{,}2868\approx 40{,}0919\\ \text{mm}.

Passo 10

Calcular o passo base p_b e o fator de contato \varepsilon_\alpha:
p_b=\pi m\cos\varphi=\pi\cdot 8\cdot \cos20^\circ\approx 3{,}14159265\cdot 8\cdot 0{,}9396926208\approx 23{,}6204\\ \text{mm}.
Portanto
\varepsilon_\alpha=\frac{L}{p_b}\approx\frac{40{,}0919}{23{,}6204}\approx 1{,}698.
Arredondando com duas casas decimais convencionais, \varepsilon_\alpha\approx 1{,}70.

Resposta

Número de dentes: z_1=25, z_2=60
Fator de contato (transversal): \varepsilon_\alpha\approx 1{,}70

Exercícios relacionados