Para a viga do exercício 2, considere \mathrm{P}=45 \mathrm{KN} e \mathrm{L}=4,0 \mathrm{~m}, \mathrm{I}=2^{*} 10^{-3} \mathrm{~m}^{4} e \mathrm{E}=25 \mathrm{GPa} determine a deflexão máxima e a rotação neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a deflexão máxima e a rotação “neste ponto” para a viga do exercício 2, usando os dados \mathrm{P}=45\\ \mathrm{kN}, \mathrm{L}=4{,}0\\ \mathrm{m}, \mathrm{I}=2\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m}^{4} e \mathrm{E}=25\\ \mathrm{GPa}. Informações fornecidas (copiadas do enunciado): \mathrm{P}=45\\ \mathrm{kN}, \mathrm{L}=4{,}0\\ \mathrm{m}, \mathrm{I}=2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}^{4}, \mathrm{E}=25\\ \mathrm{GPa}.
Importante: o enunciado refere-se à “viga do exercício 2” — isto normalmente exige conhecer a geometria de apoio (por exemplo: viga em balanço com carga concentrada na extremidade, viga simplesmente apoiada com carga central, carregamento distribuído, etc.). Essa figura/descrição não foi enviada aqui. Sem saber o tipo de apoio e a posição da carga, não há como determinar de forma única a fórmula correta para a deflexão máxima e a rotação no ponto de interesse. Portanto, preciso declarar que não posso dar uma única resposta certa sem a figura/descrição da viga.
Para te ajudar imediatamente na prova, eu vou:
  • explicar como se obtém as fórmulas (passo a passo) para os dois casos mais comuns que o professor costuma pedir (viga em balanço com carga pontual na extremidade e viga simplesmente apoiada com carga pontual no meio);
  • calcular numericamente deflexão máxima e rotação para esses dois casos usando os dados que você deu;
    Assim, se a viga do seu exercício 2 for uma dessas, você já terá a resposta; se for outra, com a figura eu ajusto a solução.

Passo 2

Noções básicas (rápida “aula” do que usamos):
  • A teoria de vigas lineares em pequena deflexão usa a equação fundamental
E I\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = M(x),
onde \;E é o módulo de elasticidade (Pa), \;I é o momento de inércia da seção (m ^4), \;y(x) é a deflexão vertical, e \;M(x) é o momento fletor interno na seção a distância x da referência. Essa equação é obtida da relação entre curvatura e momento (curvatura \approx y'' para pequenas deformações).
  • A integração desta equação duas vezes (com as condições de contorno apropriadas de suportes) dá a rotação \theta(x)=y'(x) e a deflexão y(x).
  • Definição das variáveis que vamos usar: \;P é a carga pontual (N), \;L comprimento (m), \;E (Pa), \;I (m ^4). Unidades: vou trabalhar em N, m, Pa (1 kN = 10^{3} N, 1 GPa = 10^{9} Pa).
Agora vamos aos dois casos típicos.

Passo 3

Caso A — Viga em balanço (cantilever) de comprimento \;L com carga puntal \;P aplicada na extremidade livre (ponto x=L). Sistema de coordenadas: x mede desde o apoio engastado ( x=0) até a extremidade livre ( x=L).
  1. Momento fletor interno para uma seção a distância x do apoio (aproximando sinal negativo para curvatura para baixo):
M(x) = -P (L - x).
  1. Equação da viga:
E I\,y''(x) = M(x) = -P(L-x).
  1. Integração para obter a inclinação y'(x):
y'(x) = \int y''(x)\,dx = -\frac{P}{E I}\left(Lx - \frac{x^{2}}{2}\right) + C_{1}.
Condição no apoio engastado: a inclinação é zero em x=0, logo y'(0)=0 \Rightarrow C_{1}=0.
  1. Integração para obter a deflexão y(x):
y(x) = \int y'(x)\,dx = -\frac{P}{E I}\left(\frac{L x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6}\right) + C_{2}.
Condição y(0)=0 no apoio => C_{2}=0.
  1. Deflexão máxima (na extremidade livre, x=L):
\delta_{\max} = |y(L)| = \left|\; -\frac{P}{E I}\left(\frac{L^{3}}{2}-\frac{L^{3}}{6}\right)\right| = \frac{P L^{3}}{3 E I}.
  1. Rotação (inclinação) na extremidade livre ( x=L):
\theta(L) = y'(L) = -\frac{P}{E I}\left(L^{2}-\frac{L^{2}}{2}\right) = -\frac{P L^{2}}{2 E I},
módulo \;|\theta(L)|=\dfrac{P L^{2}}{2 E I}. (Sinal negativo só indica sentido; em provas normalmente pedem magnitude.)
Agora computamos numericamente com os dados:
  • \;P=45\\ \mathrm{kN}=45\cdot10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • \;L=4{,}0\\ \mathrm{m}.
  • \;I=2\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}^{4}.
  • \;E=25\\ \mathrm{GPa}=25\cdot10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Calcule E I:
E I = (25\cdot10^{9})(2\cdot10^{-3}) = 50\cdot10^{6} = 5{,}0\cdot10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}}.
Calcule P L^{3}:
P L^{3} = (45\cdot10^{3})\cdot(4^{3}) = 45{,}000 \cdot 64 = 2{,}880{,}000\\ \mathrm{N\cdot m^{3}}.
Deflexão máxima (caso cantilever):
\delta_{\max} = \frac{P L^{3}}{3 E I} = \frac{2{,}880{,}000}{3 \cdot 5{,}0\cdot10^{7}} = \frac{2{,}880{,}000}{1{,}5\cdot10^{8}} = 0{,}0192\\ \mathrm{m} = 19{,}2\\ \mathrm{mm}.
Rotação na extremidade (magnitude):
\theta = \frac{P L^{2}}{2 E I}.
Calcule P L^{2}=(45\cdot10^{3})\cdot(4^{2})=45{,}000\cdot16=720{,}000.
\theta = \frac{720{,}000}{2\cdot5{,}0\cdot10^{7}} = \frac{720{,}000}{1{,}0\cdot10^{8}} = 0{,}0072\\ \mathrm{rad}.
Em graus (se quiser): 0{,}0072\cdot 57{,}2958 \approx 0{,}412^\circ.

Passo 4

Caso B — Viga simplesmente apoiada (simplesmente apoiada nas duas extremidades) de comprimento \;L com carga pontual \;P aplicada no meio do vão ( x=L/2). Este é outro caso clássico; por simetria a deflexão máxima ocorre no meio e a inclinação ali é zero.
Fórmula conhecida (pode-se derivar integrando os momentos das duas regiões, mas vou usar o resultado padrão que você deve memorizar para provas):
\delta_{\max} = \frac{P L^{3}}{48 E I},
e a inclinação no ponto central (onde está a deflexão máxima) é \theta = 0 por simetria (as tangentes das duas metades têm sinais opostos).
Agora os valores numéricos usando P L^{3}=2{,}880{,}000 e E I = 5{,}0\cdot10^{7}:
\delta_{\max} = \frac{2{,}880{,}000}{48\cdot 5{,}0\cdot10^{7}} = \frac{2{,}880{,}000}{2{,}4\cdot10^{9}} = 0{,}0012\\ \mathrm{m} = 1{,}2\\ \mathrm{mm}.
Rotação no ponto de máxima deflexão (meio): \theta = 0\\ \mathrm{rad}.

Passo 5

Resumo didático rápido para decorar (útil na prova):
  • Cantilever com carga pontual na extremidade:
\delta_{\max}=\frac{P L^{3}}{3 E I},\qquad \theta_{\text{extremidade}}=\frac{P L^{2}}{2 E I}.
  • Viga simplesmente apoiada com carga pontual no centro:
\delta_{\max}=\frac{P L^{3}}{48 E I},\qquad \theta_{\text{no meio}}=0.
Decore essas fórmulas e saiba que elas vêm da integração de E I y''=M(x) com as condições de contorno apropriadas.

Resposta

Cantilever (viga em balanço) com carga \;P na extremidade:\quad \delta_{\max}=0{,}0192\\ \mathrm{m}=19{,}2\\ \mathrm{mm}, \theta=0{,}0072\\ \mathrm{rad} (≈ 0{,}412^\circ).\nViga simplesmente apoiada com carga \;P no meio do vão:\quad \delta_{\max}=0{,}0012\\ \mathrm{m}=1{,}2\\ \mathrm{mm}, \theta=0\\ \mathrm{rad}.
(Observação: não foi enviada a figura da “viga do exercício 2”; se a viga do seu enunciado for diferente de um destes dois casos, envie a figura ou descreva os apoios e a posição da carga que eu adapto a solução.)

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