Uma camada uniforme de areia média com 10 metros de espessura possui o nível d’água na superfície do terreno. Devido ao bombeamento em um aquífero inferior, a carga piezométrica na base da camada de areia (a 10 m de profundidade) é mantida em um nível equivalente a 2,0 \mathrm{~m} abaixo da base da camada (ou seja, a -2,0 m em relação à base, ou a 12,0 \mathrm{~m} de profundidade em relação à superfície).
Considere:
  • \gamma \mathrm{w}=10 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}.
  • Camada Única - Areia Média
Espessura: 10,0 \mathrm{~m}
Peso específico saturado ( \gamma sat): 19,5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
Desenhe o perfil do solo, indicando o nível d’água e o nível piezométrico na base da camada. Calcule o gradiente hidráulico (i) através da camada de areia. Calcule os valores da tensão total vertical ( \sigma v), poropressão ( u ) e tensão efetiva vertical ( \sigma \mathrm{v} ') na superfície do terreno, a 5,0 \mathrm{~m} de profundidade e na base da camada de areia (a 10,0 \mathrm{~m} de profundidade). Qual seria a tensão efetiva na base da camada de areia se não houvesse fluxo descendente (condição hidrostática com NA na superfície)? Como o fluxo descendente afeta a tensão efetiva neste caso?

Passo 1

O enunciado pede que eu:
  • Desenhe (descreva) o perfil do solo indicando o nível d’água (NA) e o nível piezométrico na base da camada de areia.
  • Calcule o gradiente hidráulico (i) através da camada de areia.
  • Calcule, nos pontos indicados (superfície, 5{,}0\\ \mathrm{m} e base a 10{,}0\\ \mathrm{m}): a tensão total vertical (\sigma_v), a poropressão (u) e a tensão efetiva vertical (\sigma_v').
  • Determine a tensão efetiva na base no caso hidrostático (sem fluxo descendente, NA na superfície) e discuta como o fluxo descendente afeta a tensão efetiva.
Dados fornecidos (vou listar exatamente):
  • Espessura da camada de areia: 10{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Nível d’água: na superfície do terreno (ou seja, NA na superfície).
  • A carga piezométrica na base é mantida a 2{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da base da camada (ou seja, a 12{,}0\\ \mathrm{m} de profundidade em relação à superfície). Interpreto isso como: a superfície piezométrica no topo da camada está em elevação zero (NA na superfície) e a superfície piezométrica na base está 2{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da base, isto é, a piezométrica diminui 2{,}0\\ \mathrm{m} ao longo dos 10{,}0\\ \mathrm{m} de espessura (fluxo descendente).
  • \gamma_w = 10\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • \gamma_{sat} = 19{,}5\\ \mathrm{kN/m^3}.
Observação importante: vou usar como referência vertical a superfície do terreno com elevação z=0 e profundidade positiva para baixo ( z em metros de profundidade). A piezometria no topo (NA) corresponde a carga piezométrica H_{top}=0 e na base H_{base}=-2{,}0\\ \mathrm{m} (ou seja, a piezométrica diminuiu 2 m do topo para a base).

Passo 2

Desenho/descrição do perfil do solo (texto descritivo, porque aqui não posso fazer um desenho gráfico):
  • Superfície do terreno: profundidade z=0. Nível d’água (NA) coincide com a superfície \Rightarrow piezométrica no topo H_{top}=0.
  • Camada de areia saturada: de z=0 até z=10{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Base da camada: z=10{,}0\\ \mathrm{m}. A carga piezométrica (piezométrica) na base está 2{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da base, ou seja a piezométrica no ponto da base é H_{base}=-2{,}0\\ \mathrm{m} (equivalente a uma superfície piezométrica a 12{,}0\\ \mathrm{m} de profundidade absoluta).
  • Direção do fluxo: descendente (de cima para baixo), já que a piezométrica decresce do topo para a base.
  • Resumo em texto curto: NA na superfície ( H=0), piezométrica na base 2{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da base ( H=-2{,}0), espessura 10{,}0\\ \mathrm{m}, fluxo para baixo.

Passo 3

Cálculo do gradiente hidráulico (i) através da camada — conceitos e fórmula:
  • Conceito: o gradiente hidráulico é a variação da carga piezométrica por unidade de comprimento na direção do fluxo. Em regime estacionário e meio homogêneo, a piezométrica varia linearmente entre duas superfícies.
  • Fórmula usada:
i=\frac{\Delta H}{L}
onde \Delta H é a diferença de carga piezométrica entre o topo e a base, e L é a espessura da camada.
Aplicando ao caso:
  • \Delta H = H_{top}-H_{base} = 0 - (-2{,}0) = 2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • L = 10{,}0\\ \mathrm{m}.
Logo:
i=\frac{2{,}0}{10{,}0}=0{,}20.
Interpretação: o gradiente é i=0{,}20 (fluxo descendente).

Passo 4

Cálculo da tensão total vertical \sigma_v — conceito e fórmula:
  • Conceito: a tensão total vertical a uma profundidade z é o peso da coluna de solo (saturado) sobre essa profundidade. Como a camada está saturada desde a superfície (NA na superfície), usamos o peso específico saturado.
  • Fórmula:
\sigma_v(z)=\gamma_{sat}\cdot z
onde \gamma_{sat} é o peso específico saturado e z é a profundidade.
Cálculos:
  • Na superfície ( z=0):
\sigma_v(0)=19{,}5\cdot 0 = 0\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=5{,}0\\ \mathrm{m}:
\sigma_v(5)=19{,}5\cdot 5 = 97{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=10{,}0\\ \mathrm{m} (base):
\sigma_v(10)=19{,}5\cdot 10 = 195\\ \mathrm{kPa}.
(Observação: uso kN/m^2 = kPa para as tensões.)

Passo 5

Determinação da distribuição de poropressão u(z) sob fluxo (explicação didática e fórmula):
  • Conceito: a piezometria H(z) (carga piezométrica) é a soma da elevação do ponto z_{elev} com a carga de pressão dividida por \gamma_w: H = z_{elev} + \dfrac{u}{\gamma_w}. Com o datum escolhido como superfície z_{elev}= -z (porque z é profundidade positiva para baixo), mas aqui é mais simples trabalhar com variação linear da carga piezométrica entre top e base.
  • Em regime linear entre H_{top}=0 (em z=0) e H_{base}=-2{,}0 (em z=10), a expressão para H(z) é uma interpolação linear:
H(z)=H_{top} + \frac{H_{base}-H_{top}}{L}\,z = 0 + \frac{-2{,}0-0}{10}z = -0{,}2\,z.
  • A carga de pressão (ou pressão head) em metros é \psi(z)=H(z)-z_{elev}. Como a elevação do ponto é z_{elev}=-z (superfície 0, profundidade positiva z), temos:
\psi(z)=H(z)-(-z)=H(z)+z.
Substituindo H(z)=-0{,}2z obtemos:
\psi(z) = -0{,}2z + z = 0{,}8z.
  • Finalmente, a poropressão u(z) (em kPa) é:
u(z)=\gamma_w\cdot \psi(z)=\gamma_w\cdot 0{,}8z.
Cálculos numéricos com \gamma_w=10\\ \mathrm{kN/m^3}:
  • Em z=0:
u(0)=10\cdot 0{,}8\cdot 0 = 0\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=5{,}0\\ \mathrm{m}:
u(5)=10\cdot 0{,}8\cdot 5 = 10\cdot 4 = 40\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=10{,}0\\ \mathrm{m}:
u(10)=10\cdot 0{,}8\cdot 10 = 10\cdot 8 = 80\\ \mathrm{kPa}.
Breve interpretação: em regime com fluxo descendente, a poropressão aumenta com a profundidade mas é menor que a poropressão hidrostática (que seria u_{hid}= \gamma_w z) porque a piezométrica foi “esticada” para baixo (queda de 2 m).

Passo 6

Cálculo das tensões efetivas \sigma_v' = \sigma_v - u nos pontos pedidos — explicando o conceito:
  • Conceito: a tensão efetiva é a parte da tensão total que é transmitida pela estrutura do solo (sólidos), é o que controla resistência e deformações. Fórmula:
\sigma_v'(z)=\sigma_v(z)-u(z).
Cálculos:
  • Na superfície ( z=0):
\sigma_v'(0)=0 - 0 = 0\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=5{,}0\\ \mathrm{m}:
\sigma_v'(5)=97{,}5 - 40 = 57{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • Em z=10{,}0\\ \mathrm{m} (base):
\sigma_v'(10)=195 - 80 = 115\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Caso hidrostático (sem fluxo descendente, NA na superfície) — cálculo da poropressão e da tensão efetiva na base e comparação:
  • Em condição hidrostática com NA na superfície, a piezométrica é constante e igual à elevação do NA: H=0 em toda a profundidade saturada. Isso implica que a pressão head \psi(z)=H - z_{elev} = 0 - (-z) = z, ou seja u_{hid}(z)=\gamma_w z.
  • Para z=10{,}0\\ \mathrm{m} (base):
u_{hid}(10)=\gamma_w\cdot 10 = 10\cdot 10 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Tensão total na base já calculada: \sigma_v(10)=195\\ \mathrm{kPa}.
  • Tensão efetiva hidrostática na base:
\sigma_v'_{hid}(10)=195 - 100 = 95\\ \mathrm{kPa}.
Comparação numérica:
  • Com fluxo descendente: \sigma_v'(10)=115\\ \mathrm{kPa}.
  • Sem fluxo (hidrostático): \sigma_v'_{hid}(10)=95\\ \mathrm{kPa}.
    Diferença: 115 - 95 = 20\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Interpretação final e resposta à pergunta qualitativa “Como o fluxo descendente afeta a tensão efetiva neste caso?”:
  • Quando há fluxo descendente, a piezométrica decresce com a profundidade mais rapidamente que no caso hidrostático. Isso reduz a poropressão em cada profundidade em relação ao caso hidrostático.
  • Como \sigma_v'=\sigma_v-u, uma redução de u provoca aumento de \sigma_v'. Portanto, o fluxo descendente aumenta a tensão efetiva em toda a camada em comparação com a condição hidrostática.
  • No exemplo numérico, a tensão efetiva na base aumentou de 95\\ \mathrm{kPa} (hidrostática) para 115\\ \mathrm{kPa} (com fluxo descendente), um aumento de 20\\ \mathrm{kPa}. Isso pode significar maior esforço sobre a estrutura do solo (maior adensamento potencial) quando há escoamento para baixo.

Resposta

i=0{,}20.
\sigma_v(0)=0\\ \mathrm{kPa},\quad u(0)=0\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_v'(0)=0\\ \mathrm{kPa}.
\sigma_v(5{,}0)=97{,}5\\ \mathrm{kPa},\quad u(5{,}0)=40\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_v'(5{,}0)=57{,}5\\ \mathrm{kPa}.
\sigma_v(10{,}0)=195\\ \mathrm{kPa},\quad u(10{,}0)=80\\ \mathrm{kPa},\quad \sigma_v'(10{,}0)=115\\ \mathrm{kPa}.
Tensão efetiva na base no caso hidrostático (NA na superfície): \sigma_v'_{hid}(10{,}0)=95\\ \mathrm{kPa}.
Efeito do fluxo descendente: reduz u (comparado ao caso hidrostático) e, portanto, aumenta \sigma_v' (aumento de 20\\ \mathrm{kPa} na base neste exemplo).

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