Aqui faltou dizer explicitamente a equação e a velocidade de propagação, então vou assumir a forma usual da equação da onda numa corda homogênea:
f_{tt}=c^{2}f_{xx},
com c>0 constante. Também não foi dada a velocidade inicial f_{t}(x,0); vou assumir a hipótese padrão mais simples que costuma aparecer em exercícios desse tipo:
f_{t}(x,0)=0.
O objetivo é encontrar f(x,t) que satisfaça a equação da onda acima com essas condições de contorno e iniciais.]
Passo 2
Primeira ideia útil: reduzir as condições de contorno não-homogêneas para homogêneas. Defineremos a função
u(x,t)=f(x,t)-a.
Explico o porquê: subtraindo a constante a as condições de contorno ficam nulas, e isso facilita usar séries de senos (autofunções com contorno nulo).
Verificações rápidas:
u(0,t)=f(0,t)-a=a-a=0,
u(L,t)=f(L,t)-a=a-a=0.
Para as condições iniciais:
u(x,0)=f(x,0)-a=\cos(kx)-a,
u_{t}(x,0)=f_{t}(x,0)-0=0.
E como a é constante, u satisfaz a mesma equação da onda:
u_{tt}=c^{2}u_{xx}.
Passo 3
Método de solução: expandir u(x,t) em série de modos normais que satisfazem os contornos nulos. As autofunções espaciais para u_{xx}+\lambda u=0 com u(0)=u(L)=0 são
Aqui B_{n} vêm da expansão da condição inicial de deslocamento e C_{n} da velocidade inicial. Como assumimos u_{t}(x,0)=0, segue que C_{n}=0 para todo n. Portanto
Agora precisamos calcular os coeficientes B_{n}\) a partir de \(u(x,0)=\cos(kx)-a\). Usamos a ortogonalidade dos senos:
\[\int_{0}^{L}\sin\!\left(\alpha_{n}x\right)\sin\!\left(\alpha_{m}x\right)\,dx=\begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \dfrac{L}{2},& n=m. \end{cases}
Multiplicando u(x,0)\] por \(\sin(\alpha_{n}x) e integrando de 0 a L obtemos
Nota: se \alpha_{n}=k o segundo termo requer passagem ao limite m\to0; esse limite é bem definido e o termo tende a 0, de modo que a expressão acima também é válida interpretando o termo como limite.
Passo 7
Substituindo I_{1} e I_{2} em B_{n} obtemos explicitamente:
Agora escrevemos a solução final para f(x,t). Lembrando que f(x,t)=a+u(x,t) e u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\cos(\omega_{n}t)\sin(\alpha_{n}x), obtemos
Isto resolve o problema de maneira geral. Se quiser, no caso particular em que k=\alpha_{m}=\dfrac{m\pi}{L} para algum m, pode-se simplificar o termo correspondente usando o limite mencionado anteriormente (o termo com \alpha_{n}-k desaparece e a expressão fica bem definida).