Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para o produto escalar? (b) Prove que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, prove que
.
Movimento Retilíneo
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas: (a) provar que dois vetores são comutativos para a soma e para o produto escalar; (b) provar que dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, provar que
.
Informações que vamos usar (todas assumidas no enunciado): temos dois vetores quaisquer e
escritos por componentes no espaço tridimensional:
Informações que vamos usar (todas assumidas no enunciado): temos dois vetores quaisquer
Nada mais foi pedido além de provar as propriedades usando componentes.
Passo 2
Antes de começar a prova, lembretes importantes (coisa simples mas essencial): os símbolos
representam números reais (as componentes). Portanto podemos usar as propriedades aritméticas dos reais: a adição é comutativa, isto é, para quaisquer
vale
; a multiplicação também é comutativa,
. Essas duas propriedades serão usadas repetidamente para trocar ordens de soma e produto entre componentes.
Passo 3
Prova da comutatividade da soma vetorial. Definição por componentes: a soma
é feita componente a componente:
Analogamente,
Agora aplicamos a propriedade comutativa da adição de reais:
,
,
. Logo cada componente de
é igual à componente correspondente de
. Pelo critério de igualdade de vetores (dois vetores são iguais se e só se todas as componentes correspondentes são iguais), concluímos que
Exemplo numérico rápido só para fixar: se
e
, então
e
.
Passo 4
Breve explicação didática extra (para usar na prova): mostrar igualdade componente a componente é a forma padrão e direta quando trabalhamos com vetores em componentes. É simples e funciona sempre que os vetores estão escritos assim.
Passo 5
Prova da comutatividade do produto escalar. Definição por componentes do produto escalar (ou ponto) entre
e
:
Trocar a ordem, calculando
, dá
Agora usamos a comutatividade da multiplicação entre reais:
,
,
. Aplicando isso a cada termo e lembrando que a soma de reais também é comutativa e associativa, obtemos
Portanto o produto escalar é comutativo.
Passo 6
Comentário prático: o produto escalar resulta num número (esc scalar), então não há componentes para comparar — basta ver que a soma dos três produtos escalares componente a componente fica igual se trocarmos a ordem dos fatores dentro de cada produto.
Passo 7
Prova da anticomutatividade do produto vetorial. Vamos usar a fórmula por componentes do produto vetorial. Para
e
tem-se
Agora escrevemos
:
Usando a comutatividade da multiplicação real (por exemplo
) podemos reescrever cada componente de
trocando as ordens nos produtos:
Compare componente a componente com
:
- Primeiro componente:
. - Segundo componente:
. - Terceiro componente:
.
Portanto cada componente de
é o negativo da componente correspondente de
. Assim
ou reorganizando,
Passo 8
Comentário intuitivo (útil para memorização): o produto vetorial é orientado — trocar a ordem dos vetores inverte a orientação do triângulo formado por eles, o que inverte a direção do vetor resultante; a operação geométrica corresponde a mudar o sinal. Outra forma curta de ver isso é lembrar que o produto vetorial pode ser expresso por um determinante 3×3; trocar duas colunas de um determinante muda o sinal do determinante.
Passo 9
Exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): tome
e
. Então
e
. Realmente
.