Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para o produto escalar? (b) Prove que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, prove que \mathbf{A} \times \mathbf{B}=-\mathbf{B} \times \mathbf{A}.

Movimento Retilíneo

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas: (a) provar que dois vetores são comutativos para a soma e para o produto escalar; (b) provar que dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial, ou seja, provar que \mathbf{A}\times\mathbf{B}=-\mathbf{B}\times\mathbf{A}.
Informações que vamos usar (todas assumidas no enunciado): temos dois vetores quaisquer \mathbf{A} e \mathbf{B} escritos por componentes no espaço tridimensional:
\mathbf{A} = (A_x,\,A_y,\,A_z),
\mathbf{B} = (B_x,\,B_y,\,B_z).
Nada mais foi pedido além de provar as propriedades usando componentes.

Passo 2

Antes de começar a prova, lembretes importantes (coisa simples mas essencial): os símbolos A_x,A_y,A_z,B_x,B_y,B_z representam números reais (as componentes). Portanto podemos usar as propriedades aritméticas dos reais: a adição é comutativa, isto é, para quaisquer u,v\in\mathbb{R} vale u+v=v+u; a multiplicação também é comutativa, u\cdot v = v\cdot u. Essas duas propriedades serão usadas repetidamente para trocar ordens de soma e produto entre componentes.

Passo 3

Prova da comutatividade da soma vetorial. Definição por componentes: a soma \mathbf{A}+\mathbf{B} é feita componente a componente:
\mathbf{A}+\mathbf{B} = (A_x+B_x,\,A_y+B_y,\,A_z+B_z).
Analogamente,
\mathbf{B}+\mathbf{A} = (B_x+A_x,\,B_y+A_y,\,B_z+A_z).
Agora aplicamos a propriedade comutativa da adição de reais: A_x+B_x = B_x+A_x, A_y+B_y = B_y+A_y, A_z+B_z = B_z+A_z. Logo cada componente de \mathbf{A}+\mathbf{B} é igual à componente correspondente de \mathbf{B}+\mathbf{A}. Pelo critério de igualdade de vetores (dois vetores são iguais se e só se todas as componentes correspondentes são iguais), concluímos que
\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}.
Exemplo numérico rápido só para fixar: se \mathbf{A}=(1,2,3) e \mathbf{B}=(4,5,6), então \mathbf{A}+\mathbf{B}=(5,7,9) e \mathbf{B}+\mathbf{A}=(5,7,9).

Passo 4

Breve explicação didática extra (para usar na prova): mostrar igualdade componente a componente é a forma padrão e direta quando trabalhamos com vetores em componentes. É simples e funciona sempre que os vetores estão escritos assim.

Passo 5

Prova da comutatividade do produto escalar. Definição por componentes do produto escalar (ou ponto) entre \mathbf{A} e \mathbf{B}:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Trocar a ordem, calculando \mathbf{B}\cdot\mathbf{A}, dá
\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} = B_xA_x + B_yA_y + B_zA_z.
Agora usamos a comutatividade da multiplicação entre reais: A_xB_x = B_xA_x, A_yB_y = B_yA_y, A_zB_z = B_zA_z. Aplicando isso a cada termo e lembrando que a soma de reais também é comutativa e associativa, obtemos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z = B_xA_x + B_yA_y + B_zA_z = \mathbf{B}\cdot\mathbf{A}.
Portanto o produto escalar é comutativo.

Passo 6

Comentário prático: o produto escalar resulta num número (esc scalar), então não há componentes para comparar — basta ver que a soma dos três produtos escalares componente a componente fica igual se trocarmos a ordem dos fatores dentro de cada produto.

Passo 7

Prova da anticomutatividade do produto vetorial. Vamos usar a fórmula por componentes do produto vetorial. Para \mathbf{A}=(A_x,A_y,A_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) tem-se
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \bigl(A_yB_z - A_zB_y,\; A_zB_x - A_xB_z,\; A_xB_y - A_yB_x\bigr).
Agora escrevemos \mathbf{B}\times\mathbf{A}:
\mathbf{B}\times\mathbf{A} = \bigl(B_yA_z - B_zA_y,\; B_zA_x - B_xA_z,\; B_xA_y - B_yA_x\bigr).
Usando a comutatividade da multiplicação real (por exemplo B_yA_z = A_zB_y) podemos reescrever cada componente de \mathbf{B}\times\mathbf{A} trocando as ordens nos produtos:
\mathbf{B}\times\mathbf{A} = \bigl(A_zB_y - A_yB_z,\; A_xB_z - A_zB_x,\; A_yB_x - A_xB_y\bigr).
Compare componente a componente com \mathbf{A}\times\mathbf{B}:
  • Primeiro componente: A_yB_z - A_zB_y = -\bigl(A_zB_y - A_yB_z\bigr).
  • Segundo componente: A_zB_x - A_xB_z = -\bigl(A_xB_z - A_zB_x\bigr).
  • Terceiro componente: A_xB_y - A_yB_x = -\bigl(A_yB_x - A_xB_y\bigr).
Portanto cada componente de \mathbf{B}\times\mathbf{A} é o negativo da componente correspondente de \mathbf{A}\times\mathbf{B}. Assim
\mathbf{B}\times\mathbf{A} = -\bigl(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\bigr),
ou reorganizando,
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\,\mathbf{B}\times\mathbf{A}.

Passo 8

Comentário intuitivo (útil para memorização): o produto vetorial é orientado — trocar a ordem dos vetores inverte a orientação do triângulo formado por eles, o que inverte a direção do vetor resultante; a operação geométrica corresponde a mudar o sinal. Outra forma curta de ver isso é lembrar que o produto vetorial pode ser expresso por um determinante 3×3; trocar duas colunas de um determinante muda o sinal do determinante.

Passo 9

Exemplo numérico para fixar (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): tome \mathbf{A}=(1,0,0) e \mathbf{B}=(0,1,0). Então \mathbf{A}\times\mathbf{B}=(0,0,1) e \mathbf{B}\times\mathbf{A}=(0,0,-1). Realmente \mathbf{A}\times\mathbf{B}=-(\mathbf{B}\times\mathbf{A}).

Resposta

\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A},\quad \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}
\mathbf{A}\times\mathbf{B}=-\mathbf{B}\times\mathbf{A}

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