\mathrm{Ar} 394,3 \mathrm{~K} escoa através de um leito de partículas cilíndricas com 0,0127 \mathrm{~m} de diâmetro e comprimento igual ao diâmetro. A porosidade do leito é 0,4 e a altura do leito é 3,66 \mathrm{~m}. O ar entra no leito à 2,20 \mathrm{~atm} à uma taxa de 2,45 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} 2 . \mathrm{s}, considerando a área transversal do leito. Calcule a queda de pressão do ar no leito.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que temos e o que pedem):
  • O que pedem: calcular a queda de pressão do ar no leito, ou seja \Delta P ao longo da altura do leito.
  • Dados fornecidos: \begin{aligned} &T=394{,}3\\ \mathrm{K},\\\ &d_p=0{,}0127\\ \mathrm{m}\\ (\text{diâmetro das partículas, comprimento igual ao diâmetro}),\\\ &\varepsilon=0{,}4\\ (\text{porosidade do leito}),\\\ &L=3{,}66\\ \mathrm{m}\\ (\text{altura do leito}),\\\ &G=2{,}45\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}\\ (\text{fluxo mássico por área transversal}),\\\ &P_{\text{entrada}}=2{,}20\\ \mathrm{atm}. \end{aligned}âíâáá
  • Observação prática: como o leito é de partículas cilíndricas com comprimento igual ao diâmetro, usaremos d_p como diâmetro característico (equivalente hidráulico) para aplicar a correlação empírica usual para leitos embalados.

Passo 2

Escolha do método (explicando por que): usaremos a equação de Ergun para queda de pressão em leitos embalados. Por quê? É a fórmula-padrão que combina contribuição viscosa (regime laminar) e inercial (regime turbulentíssimo) e funciona para uma ampla faixa de número de Reynolds das partículas. O enunciado não exige outro método, e como teremos um Reynolds de partícula na faixa intermediária/alto (vamos calcular), a Ergun é apropriada.
A equação de Ergun (forma diferencial) é:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3}\,\frac{\mu u_0}{d_p^2}+\frac{1{,}75(1-\varepsilon)}{\varepsilon^3}\,\frac{\rho u_0^2}{d_p},
onde explico cada termo em breve.

Passo 3

Calcular a densidade do ar usando lei dos gases ideais.
Fórmula:
\rho=\frac{P M}{R T},
onde
  • P é a pressão absoluta em Pa,
  • M é a massa molar do ar ( M\approx0{,}02897\\ \mathrm{kg/mol}),
  • R é a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura em K.
Converter a pressão para Pa:
P=2{,}20\\ \mathrm{atm}=2{,}20\cdot101325\\ \mathrm{Pa}=222915\\ \mathrm{Pa}.
Aplicando a fórmula:
\rho=\frac{222915\cdot0{,}02897}{8{,}314\cdot394{,}3}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=222915\cdot0{,}02897\approx6457{,}85,
\text{denominador}=8{,}314\cdot394{,}3\approx3278{,}41,
\rho\approx\frac{6457{,}85}{3278{,}41}\approx1{,}97\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Calcular a viscosidade dinâmica do ar \mu. Vou usar a Lei de Sutherland (mais precisa que um simples expoente) e apresentar a fórmula:
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
onde tipicamente tomamos \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K} para o ar.
Aplicando com T=394{,}3\\ \mathrm{K}:
\mu=1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{394{,}3}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15+110{,}4}{394{,}3+110{,}4}.
Cálculo numérico (passo a passo):
\left(\frac{394{,}3}{273{,}15}\right)^{3/2}\approx1{,}735,\qquad \frac{383{,}55}{504{,}7}\approx0{,}760,
\mu\approx1{,}716\times10^{-5}\cdot1{,}735\cdot0{,}760\approx2{,}26\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Calcular a velocidade superficial u_0 a partir do fluxo mássico G.
Relação:
u_0=\frac{G}{\rho},
onde G=2{,}45\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)} e \rho calculado antes.
u_0=\frac{2{,}45}{1{,}97}\approx1{,}24\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: u_0 é a velocidade média do fluido se o leito fosse um tubo com a mesma área; é chamada de velocidade superficial (não leva em conta porosidade).

Passo 6

Calcular o número de Reynolds baseado na partícula, \mathrm{Re}_p, para saber a faixa de escoamento em redor das partículas:
\mathrm{Re}_p=\frac{\rho u_0 d_p}{\mu}.
Substituindo os valores:
\mathrm{Re}_p=\frac{1{,}97\cdot1{,}24\cdot0{,}0127}{2{,}26\times10^{-5}}.
Cálculo:
\text{produto no numerador}\approx0{,}03111,\qquad \mathrm{Re}_p\approx\frac{0{,}03111}{2{,}26\times10^{-5}}\approx1{,}38\times10^{3}.
Interpretação: \mathrm{Re}_p da ordem de 10^{3} indica contribuição inercial significativa — a equação de Ergun é adequada pois soma termos viscoso e inercial.

Passo 7

Escrever a equação de Ergun (repetindo para referência) e explicar símbolos:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3}\,\frac{\mu u_0}{d_p^2}+\frac{1{,}75(1-\varepsilon)}{\varepsilon^3}\,\frac{\rho u_0^2}{d_p},
onde
  • \Delta P é a queda de pressão ao longo de L,
  • \varepsilon é a porosidade,
  • \mu é a viscosidade dinâmica,
  • u_0 é a velocidade superficial,
  • d_p é o diâmetro das partículas,
  • \rho é a densidade do fluido.
O primeiro termo é a perda viscosa (analogia com Darcy) e o segundo é a perda inercial (arrasto de forma).

Passo 8

Calcular o termo viscoso (primeiro termo) passo a passo.
Primeiro calculemos coeficientes geométricos:
1-\varepsilon=0{,}6,\qquad \varepsilon^3=0{,}4^3=0{,}064,\qquad \frac{(1-\varepsilon)^2}{\varepsilon^3}=\frac{0{,}36}{0{,}064}=5{,}625.
Multiplicador numérico:
150\cdot5{,}625=843{,}75.
Agora o fator físico:
\frac{\mu u_0}{d_p^2}=\frac{2{,}26\times10^{-5}\cdot1{,}24}{(0{,}0127)^2}.
Calculemos:
(0{,}0127)^2=1{,}6129\times10^{-4},
\mu u_0\approx2{,}26\times10^{-5}\cdot1{,}24\approx2{,}80\times10^{-5},
\frac{\mu u_0}{d_p^2}\approx\frac{2{,}80\times10^{-5}}{1{,}6129\times10^{-4}}\approx0{,}174\\ \mathrm{Pa/m}.
Portanto o termo viscoso é:
\text{termo viscoso}=843{,}75\cdot0{,}174\approx147\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 9

Calcular o termo inercial (segundo termo) passo a passo.
Coeficiente geométrico:
\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon^3}=\frac{0{,}6}{0{,}064}=9{,}375,
1{,}75\cdot9{,}375=16{,}40625.
Fator físico:
\frac{\rho u_0^2}{d_p}=\frac{1{,}97\cdot(1{,}24)^2}{0{,}0127}.
Calculemos:
u_0^2\approx1{,}24^2\approx1{,}54,
\rho u_0^2\approx1{,}97\cdot1{,}54\approx3{,}03,
\frac{\rho u_0^2}{d_p}\approx\frac{3{,}03}{0{,}0127}\approx239{,}6\\ \mathrm{Pa/m}.
Então o termo inercial é:
\text{termo inercial}=16{,}40625\cdot239{,}6\approx3{,}93\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.

Passo 10

Somar os termos para obter o gradiente e multiplicar pela altura para obter \Delta P.
Gradiente:
\frac{\Delta P}{L}\approx147+3930\approx4{,}08\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora \Delta P:
\Delta P=\left(\frac{\Delta P}{L}\right)\!L\approx4{,}08\times10^{3}\cdot3{,}66\approx1{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais amigáveis:
\Delta P\approx1{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=14{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Se quiser em atmosferas: 14{,}9\\ \mathrm{kPa}\approx0{,}147\\ \mathrm{atm}.
Pequeno incentivo: deu bastante conta de contas, nada de pânico — a Ergun junta tudo de forma direta, só precisa calcular densidade, viscosidade e velocidade superficial com calma.

Resposta

\Delta P\approx14{,}9\\ \mathrm{kPa}

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