escoa através de um leito de partículas cilíndricas com
de diâmetro e comprimento igual ao diâmetro. A porosidade do leito é 0,4 e a altura do leito é
. O ar entra no leito à
à uma taxa de
, considerando a área transversal do leito. Calcule a queda de pressão do ar no leito.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que temos e o que pedem):
- O que pedem: calcular a queda de pressão do ar no leito, ou seja
ao longo da altura do leito. - Dados fornecidos:
- Observação prática: como o leito é de partículas cilíndricas com comprimento igual ao diâmetro, usaremos
como diâmetro característico (equivalente hidráulico) para aplicar a correlação empírica usual para leitos embalados.
Passo 2
Escolha do método (explicando por que): usaremos a equação de Ergun para queda de pressão em leitos embalados. Por quê? É a fórmula-padrão que combina contribuição viscosa (regime laminar) e inercial (regime turbulentíssimo) e funciona para uma ampla faixa de número de Reynolds das partículas. O enunciado não exige outro método, e como teremos um Reynolds de partícula na faixa intermediária/alto (vamos calcular), a Ergun é apropriada.
A equação de Ergun (forma diferencial) é:
onde explico cada termo em breve.
Passo 3
Calcular a densidade do ar usando lei dos gases ideais.
Fórmula:
onde
-
é a pressão absoluta em Pa, -
é a massa molar do ar ( ), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura em K.
Converter a pressão para Pa:
Aplicando a fórmula:
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Calcular a viscosidade dinâmica do ar
. Vou usar a Lei de Sutherland (mais precisa que um simples expoente) e apresentar a fórmula:
onde tipicamente tomamos
em
e
para o ar.
Aplicando com
:
Cálculo numérico (passo a passo):
Passo 5
Calcular a velocidade superficial
a partir do fluxo mássico
.
Relação:
onde
e
calculado antes.
Explicação rápida:
é a velocidade média do fluido se o leito fosse um tubo com a mesma área; é chamada de velocidade superficial (não leva em conta porosidade).
Passo 6
Calcular o número de Reynolds baseado na partícula,
, para saber a faixa de escoamento em redor das partículas:
Substituindo os valores:
Cálculo:
Interpretação:
da ordem de
indica contribuição inercial significativa — a equação de Ergun é adequada pois soma termos viscoso e inercial.
Passo 7
Escrever a equação de Ergun (repetindo para referência) e explicar símbolos:
onde
-
é a queda de pressão ao longo de , -
é a porosidade, -
é a viscosidade dinâmica, -
é a velocidade superficial, -
é o diâmetro das partículas, -
é a densidade do fluido.
O primeiro termo é a perda viscosa (analogia com Darcy) e o segundo é a perda inercial (arrasto de forma).
Passo 8
Calcular o termo viscoso (primeiro termo) passo a passo.
Primeiro calculemos coeficientes geométricos:
Multiplicador numérico:
Agora o fator físico:
Calculemos:
Portanto o termo viscoso é:
Passo 9
Calcular o termo inercial (segundo termo) passo a passo.
Coeficiente geométrico:
Fator físico:
Calculemos:
Então o termo inercial é:
Passo 10
Somar os termos para obter o gradiente e multiplicar pela altura para obter
.
Gradiente:
Agora
:
Em unidades mais amigáveis:
Se quiser em atmosferas:
.
Pequeno incentivo: deu bastante conta de contas, nada de pânico — a Ergun junta tudo de forma direta, só precisa calcular densidade, viscosidade e velocidade superficial com calma.