Em uma torre de resfriamento entra 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar úmido e seco a 30^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo seco e 17^{\circ} \mathrm{C} de temperatura de bulbo úmido, a uma pressão atmosférica de 101 kPa , deixando-a saturado a 25^{\circ} \mathrm{C}.
a)O que se espera com as temperaturas de saída do ar e da água? Elas aumentam ou diminuem, porquê?
b)Qual a temperatura de saída da água, se a mesma está sendo borrifada a 40^{\circ} \mathrm{C} e com vazão de 20 \mathrm{kg} / \mathrm{s} ?
C)Quantos \mathrm{kg} / \mathrm{s} de água devem ser fornecidos para compensar a água que se evapora?

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e os dados fornecidos (vou listar tudo para a gente não se perder):
  • Fluxo volumétrico do ar úmido que entra: 10\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Ar de entrada: temperatura de bulbo seco T_{db,in}=30^\circ\mathrm{C} e temperatura de bulbo úmido T_{wb,in}=17^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão atmosférica: p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Ar de saída: saturado à temperatura T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C} (isto é, 100\% de UR a 25^\circ\mathrm{C}).
  • Água borrifada: fluxo de massa \dot m_{w,in}=20\\ \mathrm{kg/s} e temperatura de entrada da água T_{w,in}=40^\circ\mathrm{C}.
    Perguntas:
    a) O que esperar das temperaturas de saída do ar e da água — aumentam ou diminuem e por quê? (resposta qualitativa + justificativa)
    b) Qual é a temperatura de saída da água (dados acima, \dot m_{w,in}=20\\ \mathrm{kg/s})?
    c) Quantos \mathrm{kg/s} de água devem ser fornecidos para compensar a água que se evapora? (i.e., taxa de evaporação)

Passo 2

Plano físico e as fórmulas que vamos usar (sem calcular ainda):
  • Vou usar relações de psicrometria básicas. Para cada estado do ar precisamos da pressão parcial do vapor e da razão de mistura (humidade absoluta) \,w. A fórmula que liga a pressão parcial de vapor p_v com a razão de mistura é
w = \frac{0{,}622\,p_v}{p - p_v}.
  • Uma relação prática para obter p_{v,in} a partir da temperatura de bulbo úmido é a aproximação
p_{v,in} \approx p_{ws}(T_{wb}) - \gamma\,(T_{db}-T_{wb}),
onde p_{ws}(T) é a pressão de saturação do vapor na temperatura T e \gamma é a constante psicrométrica
\gamma = \frac{c_{p,air}\,p}{0{,}622\,\lambda},
com c_{p,air} capacidade térmica do ar (por massa de ar seco), \lambda calor latente da vaporização (valores discutidos no passo de cálculos). Esta é uma fórmula padrão de correção do p_{ws} do bulbo húmido.
  • Para entalpias por massa de ar seco usarei a fórmula (em kJ/kg de ar seco)
h = c_{p,air}\,T_{db} + w\bigl(2501 + 1{,}86\,T_{db}\bigr),
onde as constantes são em kJ/kg e T_{db} em ^{\circ}\mathrm{C}. Essa é a forma usual em psicrometria (referência líquido-água a 0^\circ\mathrm{C}).
  • Balanço de massa de água: a água evaporada que entra no ar é
\dot m_{evap} = \dot m_{da}\,(w_{out}-w_{in}),
onde \dot m_{da} é a vazão mássica de ar seco.
  • Balanço de energia global (ar ganha energia que vem da água): energia ganha pelo ar é igual à energia perdida pela água (considerando a água evaporada vira vapor com entalpia de vapor e a água líquida restante sai a uma certa temperatura). Vou escrever e resolver esse balanço para obter T_{w,out}.

Passo 3

Preciso dos p_{ws} (pressões de saturação) nas temperaturas que aparecem. Vou usar a fórmula de Tetens (boa aproximação para 0–50°C):
p_{ws}(T)=610{,}78\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(em Pa, com \(T\) em °C).}
Calculo:
  • Para T_{wb}=17^\circ\mathrm{C}: p_{ws}(17^\circ\mathrm{C}) \approx 610{,}78\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot17}{17+237{,}3}\right) \approx 1938\\ \mathrm{Pa}=1{,}938\\ \mathrm{kPa}.
  • Para T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C} (saturado): p_{ws}(25^\circ\mathrm{C}) \approx 3169\\ \mathrm{Pa}=3{,}169\\ \mathrm{kPa}.
  • (Só para referência) p_{ws}(30^\circ\mathrm{C})\approx 4245\\ \mathrm{Pa}=4{,}245\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular a pressão parcial de vapor na entrada usando a correção do bulbo úmido:
  • Constantes adotadas:
    • c_{p,air}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} (ou 1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}),
    • vou usar \lambda aproximado médio \lambda\approx 2450\\ \mathrm{kJ/kg} (valor típico para a faixa 20–30°C; isso só afeta ligeiramente \gamma),
    • pressão total p=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Calculo de \gamma (em kPa/K): \gamma=\frac{c_{p,air}\,p}{0{,}622\,\lambda} =\frac{1{,}005\times101{,}325}{0{,}622\times2450}\\ \text{(kPa/K)}\approx 0{,}0669\\ \mathrm{kPa/K}.
  • Então p_{v,in}\approx p_{ws}(17^\circ\mathrm{C})-\gamma\,(T_{db,in}-T_{wb,in}) =1{,}938 - 0{,}0669\,(30-17)\\ \mathrm{kPa}.Calculando: p_{v,in}\approx 1{,}938 - 0{,}0669\times13 \approx 1{,}068\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Calcular as razões de mistura w_{in} e w_{out} com
w=\frac{0{,}622\,p_v}{p-p_v}.
  • Para a entrada: w_{in}=\frac{0{,}622\times1{,}068}{101{,}325-1{,}068}\approx 0{,}006626\\ \mathrm{kg_{vap}/kg_{da}}.(isto é, cerca de 6{,}63\\ \mathrm{g} de vapor por kg de ar seco)
  • Para a saída (saturado a 25^\circ\mathrm{C}): w_{out}=\frac{0{,}622\times3{,}169}{101{,}325-3{,}169}\approx 0{,}02008\\ \mathrm{kg/kg}.

Passo 6

Calcular a vazão mássica de ar seco \dot m_{da} a partir do fluxo volumétrico de ar úmido. Uso a idealização:
massa de ar seco por unidade de volume = \rho_{da}=\dfrac{p_{d}}{R_{d}\,T}, onde p_d=p-p_v e R_d=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
  • Primeiro temperatura absoluta T_{in}=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • p_{d,in}=p-p_{v,in}=101{,}325-1{,}068\approx 100{,}257\\ \mathrm{kPa}=100{,}257\\ \mathrm{Pa}.
  • Então densidade de ar seco por m³ de mistura: \rho_{da}=\frac{100{,}257}{287{,}05\times303{,}15}\approx 1{,}1506\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Como o fluxo volumétrico é 10\\ \mathrm{m^{3}/s}, \dot m_{da}=\rho_{da}\times 10 \approx 11{,}506\\ \mathrm{kg/s}.
(cheque rápido: massa de vapor entrando por s = \dot m_{da}\,w_{in}\approx 11{,}506\times0{,}006626\approx0{,}0763\\ \mathrm{kg/s}, o que é consistente com os \rho_v\times10 direto.)

Passo 7

Calcular o ganho de entalpia do ar e a energia total transferida ao ar:
  • Entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco (kJ/kg da) é h = 1{,}005\,T_{db} + w\,(2501 + 1{,}86\,T_{db}).
  • Calcular h_{in} (para T_{db,in}=30^\circ\mathrm{C}, w_{in}=0{,}006626): h_{in}=1{,}005\times30 + 0{,}006626\times(2501 + 1{,}86\times30) \approx 47{,}09\\ \mathrm{kJ/kg\;da}.
  • Calcular h_{out} (para T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C}, w_{out}=0{,}02008): h_{out}=1{,}005\times25 + 0{,}02008\times(2501 + 1{,}86\times25) \approx 76{,}25\\ \mathrm{kJ/kg\;da}.
  • Aumento de entalpia por kg de ar seco: \Delta h = h_{out}-h_{in}\approx 29{,}16\\ \mathrm{kJ/kg\;da}.
  • Energia total transferida ao ar (potência): \dot Q_{air} = \dot m_{da}\,\Delta h \approx 11{,}506\times29{,}16 \approx 335{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Calcular a massa de água evaporada (resposta da parte c, mas aqui faço no fluxo do cálculo):
\dot m_{evap} = \dot m_{da}\,(w_{out}-w_{in}) =11{,}506\times(0{,}02008-0{,}006626)\approx 0{,}1549\\ \mathrm{kg/s}.
Ou seja, cerca de 0{,}155\\ \mathrm{kg/s} de água evaporam e precisam ser repostas.

Passo 9

Balanço de energia para a água para obter T_{w,out}. Convenções/constantes:
  • entalpia do líquido de água (referência 0^\circ\mathrm{C}): h_{liq}(T)=c_{p,w}\,T com c_{p,w}=4{,}186\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  • entalpia do vapor à temperatura próxima de saída do ar (usada para o vapor evaporado): h_{vap}(T)\approx 2501 + 1{,}86\,T (kJ/kg).
  • tomo T_{vap}\approx T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C} ao qual o vapor adota entalpia h_{vap,out}=2501+1{,}86\times25=2547{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • balanço de energia (estado estacionário, sem perdas): \dot m_{w,in}\,h_{liq}(T_{w,in}) = \dot m_{evap}\,h_{vap,out} + \dot m_{w,collect}\,h_{liq}(T_{w,out}),onde \dot m_{w,collect}=\dot m_{w,in}-\dot m_{evap}.
  • Substituindo números:
    • \dot m_{w,in}=20\\ \mathrm{kg/s},
    • h_{liq}(T_{w,in})=4{,}186\times40=167{,}44\\ \mathrm{kJ/kg},
    • \dot m_{evap}\approx0{,}1549\\ \mathrm{kg/s},
    • \dot m_{w,collect}=20-0{,}1549=19{,}8451\\ \mathrm{kg/s}.
  • Escrevo a equação e resolvo para T_{w,out}: 20\times167{,}44 = 0{,}1549\times2547{,}5 + 19{,}8451\times(4{,}186\,T_{w,out}).Calculando os termos numéricos: 3348{,}8 = 394{,}62 + 83{,}111\;T_{w,out}.Então T_{w,out} = \frac{3348{,}8 - 394{,}62}{83{,}111}\approx \frac{2{,}618{,}18}{83{,}111}\approx 31{,}51^\circ\mathrm{C}.

Passo 10

Interpretação física (resposta qualitativa da parte a) — por que as temperaturas se comportam assim:
  • Ar: o ar de entrada tinha T_{db,in}=30^\circ\mathrm{C} e sai a T_{db,out}=25^\circ\mathrm{C}. Ou seja, a temperatura de bulbo seco do ar diminui — o ar fica mais frio em temperatura seca. Porém, o ar ganha umidade (de w_{in} para w_{out}), e essa adição de vapor aumenta sua entalpia total; em termos energéticos o ar terminou com entalpia maior (adição de vapor = energia latente) apesar de ter temperatura seca menor. Em palavras simples: parte da energia vem como calor sensível (troca de temperatura) e parte como calor latente (evaporação), e a evaporação faz a entalpia total do ar subir mesmo se sua temperatura seca cair.
  • Água: a água borrifada entra a 40^\circ\mathrm{C} e sai mais fria (aqui calculamos T_{w,out}\approx31{,}5^\circ\mathrm{C}). A água perde energia por dois mecanismos: (i) evaporação (ação que consome calor latente retirado da própria água) e (ii) resfriamento sensível da massa líquida restante. Portanto a temperatura da água diminui.
  • Intuição: ambos ar e água esfriam em temperatura seca (a água sempre diminui; o ar no exemplo também diminuiu de 30 para 25^\circC), mas o ar ganhou entalpia por ganhar vapor — atenção para essa distinção entre “temperatura” e “entalpia”.

Resposta

(a) Ar: temperatura de bulbo seco diminui de 30^\circ\mathrm{C} para 25^\circ\mathrm{C} (diminui). Água: temperatura diminui (de 40^\circ\mathrm{C} para cerca de 31{,}5^\circ\mathrm{C}).
(b) Temperatura de saída da água: T_{w,out}\approx 31{,}5^\circ\mathrm{C}.
(c) Água evaporada (vazão de reposição): \dot m_{evap}\approx 0{,}155\\ \mathrm{kg/s}.

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