(2,0) \mathrm{Um}
capacitor de placas circulares de raio R=1,0 \mathrm{~cm} está sendo carregado com uma corrente i=2,0 \mathrm{~A}. Calcule o campo magnético no interior da capacitor a uma distancia r=R / 2 do centro das placas.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas circulares de raio R=1,0\\ \mathrm{cm} sendo carregado por uma corrente constante i=2,0\\ \mathrm{A}. Queremos o campo magnético entre as placas, a uma distância r=R/2 do eixo. O conteúdo usado será a lei de Ampère–Maxwell, que inclui a corrente de deslocamento.

Passo 2

Entre as placas não há corrente de condução cortando a superfície de um laço circular de raio r, mas existe corrente de deslocamento. A forma integral da lei de Ampère–Maxwell é
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} \;=\;\mu_{0}\bigl(I_{\rm cond}+I_{\rm disp}\bigr).
Aqui I_{\rm cond}=0 e I_{\rm disp} é a corrente de deslocamento que atravessa a área do laço.

Passo 3

A corrente de deslocamento total entre as placas é igual à corrente de carga i. Para um laço de raio r, apenas a fração da área \pi r^2 sobre a área total \pi R^2 contribui, logo
I_{\rm disp}(r) = i\,\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = i\,\frac{r^2}{R^2}.

Passo 4

Como \mathbf{B} é tangencial e uniforme ao longo de um círculo de raio r, temos
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = B\,(2\pi r)
e a lei de Ampère–Maxwell vira
B\,(2\pi r) =\mu_{0}\,I_{\rm disp}(r) =\mu_{0}\,i\,\frac{r^2}{R^2}.
Portanto
B =\frac{\mu_{0}\,i\,r^2}{2\pi r\,R^2} =\frac{\mu_{0}\,i\,r}{2\pi\,R^2}.

Passo 5

Substituindo R=1,0\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}, r=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m}, i=2,0\\ \mathrm{A} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, obtém-se
B =\frac{(4\pi\times10^{-7})(2,0)(0,005)}{2\pi\,(0,01)^2} =2\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.

Resposta

O campo magnético vale
B = 2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}
no interior do capacitor a r=R/2.

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