Questão 1: Partindo da lei da indução de Faraday
demonstre suas formas integral e diferencial.
Passo 1
O enunciado parte da lei de Faraday para uma malha de resistência
em que a corrente é
Queremos mostrar as duas formas usuais dessa lei:
- A forma integral, que envolve a circulação do campo elétrico em torno de um contorno.
- A forma diferencial, que relaciona o rotacional de
à variação temporal de .
Passo 2
Primeiro, note que o termo
é a fem (força eletromotriz) induzida na malha. Substituindo
temos
Por outro lado, por definição eletromagnética, a fem também é dada pelo integral de linha do campo elétrico ao redor do contorno
:
Passo 3
Definimos o fluxo magnético através de uma superfície
cujo contorno é
como
Substituindo essa expressão em
, obtemos a forma integral de Faraday.
Passo 4
A forma integral final fica então
Passo 5
Para chegar à forma diferencial, aplicamos o teorema de Stokes ao lado esquerdo:
No lado direito, trazemos a derivada para dentro do integral temporal (por dependência explícita de
):
Passo 6
Como
é arbitrária, os integrandos devem coincidir em cada ponto. Assim obtemos a forma diferencial de Faraday (uma das equações de Maxwell):
Resposta
Integral:
Diferencial: