Questão 1: Partindo da lei da indução de Faraday
i=-\frac{1}{R} \frac{d \Phi_{c}}{d t}
demonstre suas formas integral e diferencial.

Passo 1

O enunciado parte da lei de Faraday para uma malha de resistência R em que a corrente é
i = -\frac{1}{R}\,\frac{d\Phi_{c}}{dt}.
Queremos mostrar as duas formas usuais dessa lei:
  1. A forma integral, que envolve a circulação do campo elétrico em torno de um contorno.
  2. A forma diferencial, que relaciona o rotacional de \mathbf{E} à variação temporal de \mathbf{B}.

Passo 2

Primeiro, note que o termo
\mathcal{E} = R\,i
é a fem (força eletromotriz) induzida na malha. Substituindo i temos
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi_{c}}{dt}.
Por outro lado, por definição eletromagnética, a fem também é dada pelo integral de linha do campo elétrico ao redor do contorno C:
\mathcal{E} = \oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.

Passo 3

Definimos o fluxo magnético através de uma superfície S cujo contorno é C como
\Phi_{c} = \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Substituindo essa expressão em \mathcal{E} = -d\Phi_{c}/dt, obtemos a forma integral de Faraday.

Passo 4

A forma integral final fica então
\boxed{\oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} \;=\; -\,\frac{d}{dt}\,\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.}

Passo 5

Para chegar à forma diferencial, aplicamos o teorema de Stokes ao lado esquerdo:
\oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} =\int_{S} (\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S}.
No lado direito, trazemos a derivada para dentro do integral temporal (por dependência explícita de \mathbf{B}(t)):
-\,\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} =\,-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 6

Como S é arbitrária, os integrandos devem coincidir em cada ponto. Assim obtemos a forma diferencial de Faraday (uma das equações de Maxwell):
\boxed{\nabla\times\mathbf{E} \;=\; -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.}

Resposta

Integral:
\oint_{C} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Diferencial:
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

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