Se \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\\\ 2 & 6\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 3\end{array}\right] e \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right], determine X em cada uma das equações abaixo:
3 X+A=B-X

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz X que satisfaz a equação
3X + A = B - X.
Observações que vêm do enunciado:
  • X é uma matriz desconhecida (presumivelmente 2\times2, compatível com A e B).
  • Todas as operações nas matrizes são soma/subtração e multiplicação por escalar.
  • A matriz C foi fornecida, mas não aparece na equação dada; portanto não será necessária aqui.]

Passo 2

Estratégia algébrica (explicando as regras usadas):
  • Podemos reunir os termos que contêm X de um lado. A soma de matrizes e a multiplicação por escalar obedecem as mesmas regras algébricas dos números: podemos somar termos semelhantes.
  • Começamos por somar X aos dois lados ou mover -X para o lado esquerdo. Fazendo isso obtemos uma equação só com X de um lado.
Escrevendo isso passo a passo:
3X + A = B - X
somamos X aos dois lados:
3X + X + A = B.
Como a adição de matrizes é associativa e comutativa, podemos juntar 3X + X:
4X + A = B.
Agora subtraímos A dos dois lados:
4X = B - A.

Passo 3

Explicar como calcular B-A: a subtração de matrizes é feita entrada a entrada (elemento a elemento). Vou calcular cada posição da matriz B-A.
As entradas correspondentes são:
  • primeira linha, primeira coluna: 2-1.
  • primeira linha, segunda coluna: 1-7.
  • segunda linha, primeira coluna: 4-2.
  • segunda linha, segunda coluna: 3-6.
Calculando:
B-A=\begin{pmatrix}2-1 & 1-7 \\[4pt] 4-2 & 3-6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -6 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Voltando à equação 4X = B - A, agora que sabemos B-A, isolamos X dividindo por 4. Dividir por 4 na álgebra matricial é multiplicar por escalar \tfrac{1}{4} cada entrada da matriz:
X=\tfrac{1}{4}\,(B-A)=\tfrac{1}{4}\begin{pmatrix}1 & -6 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
Multiplicando cada entrada por \tfrac{1}{4} (explicando: multiplicar matriz por escalar significa multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar):
X=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\cdot 1 & \tfrac{1}{4}\cdot(-6) \\[6pt] \tfrac{1}{4}\cdot 2 & \tfrac{1}{4}\cdot(-3)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{6}{4} \\[6pt] \tfrac{2}{4} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Simplificando as frações \tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2} e \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}, obtemos a forma final de X:
X=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{4}\end{pmatrix}]

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