Dê a matriz de mudança da base E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) para a base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) nos casos \overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}-\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3} \vec{f}_{2}=3 \vec{e}_{1} \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar a matriz de mudança da base E=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) para a base F=(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3) quando são dadas as relações
Vou interpretar "matriz de mudança da base E para a base F" como a matriz P que transforma coordenadas de um vetor em E para coordenadas em F; isto é, para todo vetor \vec{v} vale
[\vec{v}]_{F}=P\,[\vec{v}]_{E}.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são as expressões acima de \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3 em função das \vec{e}_i.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo e com calma).
Denote por A a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3 em relação à base E. Ou seja, a j-ésima coluna de A é [\vec{f}_j]_E.
Se E e F são interpretadas como matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas “canônicas” (ou seja, representações em um mesmo espaço), então temos a igualdade de matrizes de vetores
F = E\,A,
porque cada coluna de F (que é \vec{f}_j em coordenadas canônicas) é uma combinação linear das colunas de E com coeficientes dados por [\vec{f}_j]_E.
Para um vetor arbitrário \vec{v} vale \vec{v} = E\,[\vec{v}]_E = F\,[\vec{v}]_F = E\,A\,[\vec{v}]_F. Igualando as duas expressões que usam E,
Vamos calcular [A^{-1}). Uma forma simples e didática é resolver para cada coluna de A^{-1} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b} sendo os vetores canônicos \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.
Escrevendo o sistema geral para \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^T: