Dê a matriz de mudança da base E=\left(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right) para a base F=\left(\vec{f}_{1}, \vec{f}_{2}, \vec{f}_{3}\right) nos casos
\overrightarrow{\mathrm{f}}_{1}=\overrightarrow{\mathrm{e}}_{1}-\overrightarrow{\mathrm{e}}_{3}
\vec{f}_{2}=3 \vec{e}_{1}
\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+2 \overrightarrow{e_{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz de mudança da base E=(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3) para a base F=(\vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3) quando são dadas as relações
\vec{f}_1=\vec{e}_1-\vec{e}_3,\qquad \vec{f}_2=3\vec{e}_1,\qquad \vec{f}_3=\vec{e}_1+2\vec{e}_2.
Vou interpretar "matriz de mudança da base E para a base F" como a matriz P que transforma coordenadas de um vetor em E para coordenadas em F; isto é, para todo vetor \vec{v} vale
[\vec{v}]_{F}=P\,[\vec{v}]_{E}.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são as expressões acima de \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3 em função das \vec{e}_i.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo e com calma).
  • Denote por A a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \vec{f}_1,\vec{f}_2,\vec{f}_3 em relação à base E. Ou seja, a j-ésima coluna de A é [\vec{f}_j]_E.
  • Se E e F são interpretadas como matrizes cujas colunas são os vetores das bases em coordenadas “canônicas” (ou seja, representações em um mesmo espaço), então temos a igualdade de matrizes de vetores
F = E\,A,
porque cada coluna de F (que é \vec{f}_j em coordenadas canônicas) é uma combinação linear das colunas de E com coeficientes dados por [\vec{f}_j]_E.
  • Para um vetor arbitrário \vec{v} vale \vec{v} = E\,[\vec{v}]_E = F\,[\vec{v}]_F = E\,A\,[\vec{v}]_F. Igualando as duas expressões que usam E,
E\,[\vec{v}]_E = E\,A\,[\vec{v}]_F \quad\Rightarrow\quad [\vec{v}]_E = A\,[\vec{v}]_F.
  • Isolando [\vec{v}]_F obtemos
[\vec{v}]_F = A^{-1}\,[\vec{v}]_E.
Logo a matriz desejada P que envia coordenadas de E para coordenadas de F é
P = A^{-1}.
Resumo: construir A a partir das coordenadas de \vec{f}_j na base E, depois inverter A para obter P.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente as coordenadas de cada \vec{f}_j em relação a E (peguei essas coordenadas das expressões do enunciado):
  • \vec{f}_1=\vec{e}_1-\vec{e}_3 tem coordenadas [\vec{f}_1]_E = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
  • \vec{f}_2=3\vec{e}_1 tem coordenadas [\vec{f}_2]_E = \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • \vec{f}_3=\vec{e}_1+2\vec{e}_2 tem coordenadas [\vec{f}_3]_E = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Montando A com essas colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vamos calcular [A^{-1}). Uma forma simples e didática é resolver para cada coluna de A^{-1} o sistema linear A\vec{x}=\vec{b} com \vec{b} sendo os vetores canônicos \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3.
Escrevendo o sistema geral para \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)^T:
\begin{cases} x_1 + 3x_2 + x_3 = b_1,\\[4pt] 2x_3 = b_2,\\[4pt] - x_1 = b_3. \end{cases}
Dessas equações isolamos diretamente:
x_1 = -b_3,\qquad x_3 = \dfrac{b_2}{2},\qquad 3x_2 = b_1 + b_3 - \dfrac{b_2}{2},
ou seja
x_2 = \dfrac{b_1 + b_3 - \tfrac{b_2}{2}}{3}.
Agora aplicamos \vec{b}=\vec{e}_1=(1,0,0)^T\], \(\vec{b}=\vec{e}_2=(0,1,0)^T e \vec{b}=\vec{e}_3=(0,0,1)^T para obter as colunas de A^{-1}.
  • Para \vec{b}=\vec{e}_1 ( b_1=1,b_2=0,b_3=0):
\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\dfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para \vec{b}=\vec{e}_2 ( b_1=0,b_2=1,b_3=0):
\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-\dfrac{1}{6}\\[4pt]\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
  • Para \vec{b}=\vec{e}_3 ( b_1=0,b_2=0,b_3=1):
\vec{x}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]\dfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Essas são exatamente as colunas de A^{-1}.]

Passo 5

Montando A^{-1} com as colunas calculadas, obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[6pt] \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.
Como explicado no Passo 2, a matriz de mudança de base P que leva coordenadas em E para coordenadas em F é P=A^{-1}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\[6pt] \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados