( 2,5 \mathrm{pt} ) ( 2,5 ) Duas cargas pontuais no vácuo, q_{1}=+3 q e q_{2}=-q(q>0), estão posicionados no plano ( x(m) ; y(m) ) nas posições: P_{1}=(0 ; 2) m e P_{2}=(2 ; 0) m, respectivamente. Calcule: (a) o potencial elétrico na origem (P=(0 ; 0)). (b) o trabalho e a energia potencial elétrica para trazer uma terceira carga do infinito de valor q=-2 q até a origem (P=(0 ; 0)). Para isso, considere que a variação de energia cinética durante esse percurso seja nula.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais no vácuo e pede duas coisas. Dados fornecidos (vou listar tudo bem claros):
q_1 = +3q,\qquad q_2 = -q,\qquad q>0.
Posições (no plano x(m);y(m)):
P_1=(0;2)\\ \text{m},\qquad P_2=(2;0)\\ \text{m}.
Pede-se:
(a) o potencial elétrico no ponto origem P=(0;0);
(b) o trabalho e a energia potencial elétrica ao trazer do infinito até a origem uma terceira carga
q_3 = -2q,
sabendo que a variação da energia cinética é nula durante o percurso.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha):
  • O potencial elétrico criado por uma carga pontual Q num ponto a distância r (no vácuo) é dado por
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}.
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e a constante k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} frequentemente simplifica a escrita.
  • Potenciais se somam (princípio da superposição): o potencial total num ponto é a soma dos potenciais de cada carga.
    Portanto, o potencial na origem devido a q_1 e q_2 é
V(0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}\right),
onde r_1 é a distância entre q_1 e a origem e r_2 a distância entre q_2 e a origem.

Passo 3

Calcular as distâncias da origem até cada carga (mostrando cada conta):
Distância até P_1=(0,2):
r_1=\sqrt{(0-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2\\ \text{m}.
Distância até P_2=(2,0):
r_2=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2\\ \text{m}.
Observação: ambas ficam a 2\\ \text{m} da origem.

Passo 4

Substituir q_1=+3q, q_2=-q e r_1=r_2=2 na fórmula do potencial e simplificar passo a passo:
V(0)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{3q}{2}+\frac{-q}{2}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{3q-q}{2}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{2q}{2}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q.
Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} isso fica V(0)=kq.

Passo 5

Agora a energia potencial e o trabalho ao trazer a terceira carga. Conceitos usados (explicados):
  • A energia potencial elétrica de uma carga de teste q' colocada num ponto onde o potencial é V é
U = q' V.
Isto vem da definição de potencial: pot. é energia por unidade de carga.
  • Se trazemos a carga do infinito (onde tipicamente V(\infty)=0) até o ponto, a variação de energia potencial é
\Delta U = U(\text{final})-U(\infty)=q'V - 0 = q'V.
  • Se a variação de energia cinética \Delta K é nula (processo lento/quase-estático), então o trabalho realizado pelas forças externas W_{\text{ext}} é igual a \Delta U (energia interna do sistema muda exatamente por esse valor).

Passo 6

Aplicar as fórmulas com q_3=-2q e V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}q. Calcule U:
U = q_3\,V(0)=(-2q)\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\right)=-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^{2}.
Escrevendo com k:
U=-2kq^{2}.

Passo 7

Calcular o trabalho das forças externas W_{\text{ext}}. Como \Delta K=0, temos W_{\text{ext}}=\Delta U. Como U(\infty)=0,
W_{\text{ext}}=U=-2\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^{2}=-2kq^{2}.
Interpretação rápida: o valor negativo significa que, se fizermos o processo lentamente, o campo elétrico realiza trabalho positivo sobre a carga e o agente externo precisaria extrair essa energia (ou seja, não tem que gastar energia; pelo contrário, libera-se energia).

Resposta

(a) V(0)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q\n
(b) Trabalho realizado pelas forças externas W_{\text{ext}}=-2\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^{2}\n
(b) Energia potencial elétrica U=-2\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,q^{2}

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