Q19. A translação da Terra em torno do Sol se dá numa órbita quase circular de raio
m. O seu período é de um ano. Use estes dados para estimar a massa do Sol.
:
.
Passo 1
O que o problema pede: estimar a massa do Sol usando dados da órbita da Terra.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- raio da órbita:
. - período orbital:
(um ano). - resultado esperado (para conferência):
.
Passo 2
Qual é a ideia física (fórmulas que vamos usar) — explica como pensar na prova:
- A força que mantém a Terra em órbita é a força gravitacional entre Sol e Terra, dada por a Lei da Gravitação Universal:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol (o que queremos),
é a massa da Terra (que vai cancelar) e
é o raio da órbita.
- Para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta é dada por
, então a força centrípeta sobre a Terra é
onde
é a velocidade orbital da Terra.
- A velocidade orbital relaciona-se com o período
por
pois em um período
a Terra percorre uma circunferência de comprimento
.
Passo 3
Montando a equação e isolando
— passo a passo matemático e por quê:
Em órbita estacionária a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta, então igualamos
Em órbita estacionária a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta, então igualamos
Cancelamos
dos dois lados (importante: é por isso que não precisamos da massa da Terra) e substituímos
por
:
Agora simplificamos o lado direito:
Portanto
Isolando
:
Essa fórmula é central: ela vem diretamente de igualar gravitação e centrípeta e nos dá a massa do corpo central em função do raio e do período.
Passo 4
Converter o período para segundos e listar constantes numéricas que vamos usar:
- Um ano em segundos (usar ano civil de
dias):
- Constante gravitacional (valor conhecido, unidades SI):
Passo 5
Calcular
e
:
Valor de
(aproximação):
Multiplicando:
Passo 6
Calcular
:
Passo 7
Dividir numerador por denominador para obter
:
Arredondando com três algarismos significativos (e seguindo o enunciado), obtemos:
Passo 8
Comentário final e incentivo (curto): deu trabalho, mas vimos passo a passo como igualar gravidade e centrípeta, transformar período em segundos e fazer as potências de dez — essa é a técnica que cai em prova. Boa! Você já consegue repetir isso com outros planetas.