Q19. A translação da Terra em torno do Sol se dá numa órbita quase circular de raio 1,5 \times 10^{11} m. O seu período é de um ano. Use estes dados para estimar a massa do Sol. \mathbf{R} : 1,99 \times 10^{30} \mathrm{Kg}.

Passo 1

O que o problema pede: estimar a massa do Sol usando dados da órbita da Terra.
Dados fornecidos:
  • raio da órbita: r = 1,5\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
  • período orbital: T = 1\\ \text{ano} (um ano).
  • resultado esperado (para conferência): 1,99\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Qual é a ideia física (fórmulas que vamos usar) — explica como pensar na prova:
  • A força que mantém a Terra em órbita é a força gravitacional entre Sol e Terra, dada por a Lei da Gravitação Universal:
F_{\text{g}} = G\,\frac{M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol (o que queremos), m é a massa da Terra (que vai cancelar) e r é o raio da órbita.
  • Para movimento circular uniforme a aceleração centrípeta é dada por a_{\text{c}} = v^{2}/r, então a força centrípeta sobre a Terra é
F_{\text{c}} = m\,\frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade orbital da Terra.
  • A velocidade orbital relaciona-se com o período T por
v = \frac{2\pi r}{T},
pois em um período T a Terra percorre uma circunferência de comprimento 2\pi r.

Passo 3

Montando a equação e isolando M — passo a passo matemático e por quê:
Em órbita estacionária a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta, então igualamos
G\,\frac{M\,m}{r^{2}} \;=\; m\,\frac{v^{2}}{r}.
Cancelamos m dos dois lados (importante: é por isso que não precisamos da massa da Terra) e substituímos v por 2\pi r/T:
G\,\frac{M}{r^{2}} \;=\; \frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2}.
Agora simplificamos o lado direito:
\frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2} = \frac{1}{r}\cdot\frac{4\pi^{2} r^{2}}{T^{2}} = \frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
Portanto
G\,\frac{M}{r^{2}} = \frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}.
Isolando M:
\boxed{\,M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,T^{2}}\,}.
Essa fórmula é central: ela vem diretamente de igualar gravitação e centrípeta e nos dá a massa do corpo central em função do raio e do período.

Passo 4

Converter o período para segundos e listar constantes numéricas que vamos usar:
  • Um ano em segundos (usar ano civil de 365 dias):
T = 365\times24\times3600 = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
  • Constante gravitacional (valor conhecido, unidades SI):
G = 6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.

Passo 5

Calcular r^{3} e 4\pi^{2}:
r^{3} = \bigl(1{,}5\times10^{11}\bigr)^{3} = 3{,}375\times10^{33}\\ \mathrm{m^{3}}.
Valor de 4\pi^{2} (aproximação):
4\pi^{2} \approx 39{,}48.
Multiplicando:
4\pi^{2}\,r^{3} \approx 39{,}48 \times 3{,}375\times10^{33} \approx 1{,}332\times10^{35}.

Passo 6

Calcular G\,T^{2}:
T^{2} = (3{,}1536\times10^{7})^{2} \approx 9{,}96\times10^{14}\\ \mathrm{s^{2}}.
G\,T^{2} \approx 6{,}67\times10^{-11}\times9{,}96\times10^{14} \approx 6{,}64\times10^{4}.

Passo 7

Dividir numerador por denominador para obter M:
M \approx \frac{1{,}332\times10^{35}}{6{,}64\times10^{4}} \approx 2{,}00\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com três algarismos significativos (e seguindo o enunciado), obtemos:
M \approx 1{,}99\times10^{30}\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Comentário final e incentivo (curto): deu trabalho, mas vimos passo a passo como igualar gravidade e centrípeta, transformar período em segundos e fazer as potências de dez — essa é a técnica que cai em prova. Boa! Você já consegue repetir isso com outros planetas.

Resposta

1,99\times10^{30}\\ \mathrm{kg}

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