. Se
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular
, ou seja, a derivada de
avaliada em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
O que é a derivada
? Intuitivamente,
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
: é a taxa de variação instantânea de
em
. Formalmente, a derivada é o limite do quociente de diferenças:
Na prática de prova é comum usar regras prontas de derivação (como derivada de soma, produto, quociente, potência, etc.) para evitar fazer esse limite toda vez.
Passo 3
Escolha do método: como
é uma razão de duas funções polinomiais
e
, a regra mais direta e prática é a regra do quociente. Vou usá-la porque é rápida e envolve apenas derivadas simples de polinômios.
Regra do quociente (explicada): se
com
, então
Essa fórmula pode ser deduzida escrevendo
e aplicando a regra do produto e a regra da derivada de
(derivada de
é
). O resultado é exatamente a fórmula acima.
Passo 4
Identificamos:
Derivadas simples de polinômios (regra: a derivada de
é
):
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto a derivada simplificada é
Passo 6
Agora avaliamos em
:
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
. Isso significa que, perto de
,
cresce rapidamente (slope positivo).