2(1,5 \mathrm{pts}). Se f(x)=\left(\frac{3 x-2}{2 x+1}\right), calcule f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\left(\frac{3x-2}{2x+1}\right)
e pede para calcular f^{\prime}(0), ou seja, a derivada de f avaliada em x=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{função: }f(x)=\frac{3x-2}{2x+1},\qquad \text{ponto onde avaliar: }x=0.çã

Passo 2

O que é a derivada f'(a)? Intuitivamente, f'(a) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=a: é a taxa de variação instantânea de f em a. Formalmente, a derivada é o limite do quociente de diferenças:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Na prática de prova é comum usar regras prontas de derivação (como derivada de soma, produto, quociente, potência, etc.) para evitar fazer esse limite toda vez.

Passo 3

Escolha do método: como f é uma razão de duas funções polinomiais u(x)=3x-2 e v(x)=2x+1, a regra mais direta e prática é a regra do quociente. Vou usá-la porque é rápida e envolve apenas derivadas simples de polinômios.
Regra do quociente (explicada): se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Essa fórmula pode ser deduzida escrevendo f(x)=u(x)\cdot v(x)^{-1} e aplicando a regra do produto e a regra da derivada de v^{-1} (derivada de v^{-1} é -v'v^{-2}). O resultado é exatamente a fórmula acima.

Passo 4

Identificamos:
u(x)=3x-2,\qquad v(x)=2x+1.
Derivadas simples de polinômios (regra: a derivada de ax+b é a):
u'(x)=3,\qquad v'(x)=2.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^{2}}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
3(2x+1)=6x+3,
(3x-2)\cdot 2=6x-4.
Subtraindo:
6x+3-(6x-4)=6x+3-6x+4=7.
Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{7}{(2x+1)^{2}}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=0:
f'(0)=\frac{7}{(2\cdot 0+1)^{2}}=\frac{7}{1^{2}}=7.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x=0 é 7. Isso significa que, perto de 0, f cresce rapidamente (slope positivo).

Resposta

7

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