Exercicio (13) \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{(s+2){3}}\right}
Passo 1
Enunciado: calcular a transformada inversa de Laplace
O que é dado: a função no domínio de
é
. O que se pede: encontrar
tal que
. Consideramos a transformada de Laplace usual para
.
Passo 2
Lembrando uma fórmula básica e muito útil: para inteiro não-negativo
vale
Explicação/derivação curta (por indução): para
temos
. Supondo
, calcule
. Fazendo integração por partes com
,
(então
,
) obtemos
o que fecha a indução.
Passo 3
Da identidade acima, a transformada inversa fica imediata: se
então
Ou seja, a função cujo Laplace é
é
(aqui
).
Passo 4
Agora a propriedade de deslocamento (shift) no domínio de
: para todo
se
. A ideia é trocar
por
na integral. Em forma inversa, se
então
Passo 5
Aplique ao nosso problema: podemos escrever
com
. Sabemos pelo Passo 3 que
Pelo deslocamento do Passo 4, a inversa de
é
vezes
. Portanto
Passo 6
Verificação rápida (checagem): usando a regra direta,
(pois
e trocar
por
). Multiplicando por
obtemos exatamente
, confirmando a resposta. Força aí — essa é uma técnica que cai MUITO em prova: reconhecer
e usar o deslocamento com
.