Exercicio (13) \mathcal{L}{-1}\left{\frac{1}{(s+2){3}}\right}

Passo 1

Enunciado: calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}.
O que é dado: a função no domínio de s é F(s)=\dfrac{1}{(s+2)^{3}}. O que se pede: encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). Consideramos a transformada de Laplace usual para t\ge 0.

Passo 2

Lembrando uma fórmula básica e muito útil: para inteiro não-negativo n vale
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\qquad s>0.
Explicação/derivação curta (por indução): para n=0 temos \mathcal{L}\{1\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=\frac{1}{s}. Supondo \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}, calcule \mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{n+1}dt. Fazendo integração por partes com u=t^{n+1}, dv=e^{-st}dt (então du=(n+1)t^{n}dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}) obtemos
\mathcal{L}\{t^{n+1}\}=\frac{n+1}{s}\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n+1}{s}\cdot\frac{n!}{s^{n+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}},
o que fecha a indução.

Passo 3

Da identidade acima, a transformada inversa fica imediata: se \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}}{n!}.
Ou seja, a função cujo Laplace é 1/s^{3} é \dfrac{t^{2}}{2} (aqui n=2).

Passo 4

Agora a propriedade de deslocamento (shift) no domínio de s: para todo a\in\mathbb{R}
\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\}=F(s+a)
se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s). A ideia é trocar s por s+a na integral. Em forma inversa, se G(s)=F(s+a) então
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=e^{-at}\,f(t).

Passo 5

Aplique ao nosso problema: podemos escrever
\frac{1}{(s+2)^{3}} = G(s+2)
com G(s)=\dfrac{1}{s^{3}}. Sabemos pelo Passo 3 que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}.
Pelo deslocamento do Passo 4, a inversa de G(s+2) é e^{-2t} vezes \dfrac{t^{2}}{2}. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{3}}\right\}=\frac{t^{2}}{2}\,e^{-2t}.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): usando a regra direta, \mathcal{L}\{t^{2}e^{-2t}\}=\dfrac{2}{(s+2)^{3}} (pois \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3} e trocar s por s+2). Multiplicando por \dfrac{1}{2} obtemos exatamente \dfrac{1}{(s+2)^{3}}, confirmando a resposta. Força aí — essa é uma técnica que cai MUITO em prova: reconhecer 1/(s+a)^{n} e usar o deslocamento com t^{n-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}t^{2}e^{-2t}

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