(
) O total de chuva anual em uma cidade é considerado muito seco quando ocorrem valores iguais ou menores do 600 mm . Esse total de chuva possui tempo de retorno estimado em 20 anos, mas voltou a ocorrer 8 anos após a última vez que havia sido registrado. Com base nessas informações, explique se é possível afirmar que o tempo de retorno estimado está errado.
O tempo de retorno é um intervalo médio de ocorrência. Após uma ocorrência, pode voltar a ocorrer em menos ou mais de 20 anos, mas, na média será uma vez a cada 20 anos.
O tempo de retorno é um intervalo médio de ocorrência. Após uma ocorrência, pode voltar a ocorrer em menos ou mais de 20 anos, mas, na média será uma vez a cada 20 anos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
- Informação 1: O total de chuva anual igual ou menor que
é classificado como “muito seco”. - Informação 2: O tempo de retorno estimado para esse evento é
anos. - Informação 3: O evento voltou a ocorrer
anos após a última vez. - Pergunta: A partir desses fatos, é possível afirmar que o tempo de retorno estimado (
anos) está errado?
Passo 2
Entender o que significa “tempo de retorno”:
- O tempo de retorno
é uma média. Se a probabilidade anual de ocorrência do evento é , então
- Para
anos temos (ou por ano).
Isso quer dizer que, em cada ano, a chance do evento ocorrer é, e o tempo entre ocorrências tem, em média, anos — mas valores menores ou maiores podem ocorrer devido à variabilidade aleatória.
Passo 3
Modelo simples (mais básico e adequado para prova): assumir anos independentes com probabilidade
de ocorrer o evento em cada ano (processo de Bernoulli anual). Pergunta prática: qual a probabilidade de o evento ocorrer novamente dentro de
anos (isto é, pelo menos uma ocorrência em 8 anos)?
- A probabilidade de NÃO ocorrer em um ano é
. - A probabilidade de NÃO ocorrer em nenhum dos
anos é . - Então a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em
anos é
Substituindo
:
Agora calculemos
. Como
:
Portanto
Arredondando, a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em
anos é aproximadamente
(ou
).
Passo 4
Se a pergunta for a probabilidade EXATA de o intervalo entre duas ocorrências ser justamente
anos (isto é, nenhuma ocorrência nos 7 anos seguintes e ocorrência no 8.º ano), usa-se a distribuição geométrica discreta:
Como
, tem-se
Ou seja, a probabilidade de o retorno ser exatamente
anos é aproximadamente
(ou
).
Passo 5
Interpretação e conclusão didática (como falar na prova):
- O tempo de retorno de
anos é uma média (valor esperado). Não implica que o evento não possa aparecer em intervalos menores que anos. A variabilidade é grande. - Encontrar o evento novamente após
anos NÃO é impossível nem tão extraordinário: a chance de ter pelo menos uma ocorrência em anos é cerca de . Logo, observar um intervalo de anos não fornece evidência forte por si só de que a estimativa anos esteja errada. - Para concluir que a estimativa está provável ou claramente errada seria necessário analisar muitas observações (vários intervalos) e fazer um teste estatístico ou recalcular
com uma amostra grande. Um único intervalo curto pode perfeitamente acontecer por acaso.
Resposta
Não é possível afirmar que o tempo de retorno estimado está errado; a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em 8 anos, assumindo
anos (
), é aproximadamente
(33,66%).