( 0,5 \mathrm{pts} ) O total de chuva anual em uma cidade é considerado muito seco quando ocorrem valores iguais ou menores do 600 mm . Esse total de chuva possui tempo de retorno estimado em 20 anos, mas voltou a ocorrer 8 anos após a última vez que havia sido registrado. Com base nessas informações, explique se é possível afirmar que o tempo de retorno estimado está errado.
O tempo de retorno é um intervalo médio de ocorrência. Após uma ocorrência, pode voltar a ocorrer em menos ou mais de 20 anos, mas, na média será uma vez a cada 20 anos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa clara:
  • Informação 1: O total de chuva anual igual ou menor que 600\\ \text{mm} é classificado como “muito seco”.
  • Informação 2: O tempo de retorno estimado para esse evento é 20 anos.
  • Informação 3: O evento voltou a ocorrer 8 anos após a última vez.
  • Pergunta: A partir desses fatos, é possível afirmar que o tempo de retorno estimado ( 20 anos) está errado?

Passo 2

Entender o que significa “tempo de retorno”:
  • O tempo de retorno T é uma média. Se a probabilidade anual de ocorrência do evento é p, então
T=\frac{1}{p}.
  • Para T=20 anos temos p=\dfrac{1}{20}=0,05 (ou 5\% por ano).
    Isso quer dizer que, em cada ano, a chance do evento ocorrer é 0,05, e o tempo entre ocorrências tem, em média, 20 anos — mas valores menores ou maiores podem ocorrer devido à variabilidade aleatória.

Passo 3

Modelo simples (mais básico e adequado para prova): assumir anos independentes com probabilidade p=0,05 de ocorrer o evento em cada ano (processo de Bernoulli anual). Pergunta prática: qual a probabilidade de o evento ocorrer novamente dentro de 8 anos (isto é, pelo menos uma ocorrência em 8 anos)?
  • A probabilidade de NÃO ocorrer em um ano é 1-p.
  • A probabilidade de NÃO ocorrer em nenhum dos 8 anos é (1-p)^8.
  • Então a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em 8 anos é
1-(1-p)^8.
Substituindo p=0,05:
1-\left(1-0,05\right)^8=1-\left(\tfrac{19}{20}\right)^8.
Agora calculemos \left(\tfrac{19}{20}\right)^8. Como \tfrac{19}{20}=0,95:
0,95^2=0,9025,\qquad 0,95^4=0,81450625,\qquad 0,95^8\approx0,663420431.
Portanto
1-0,95^8\approx1-0,663420431\approx0,336579569.
Arredondando, a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em 8 anos é aproximadamente 0,3366 (ou 33,66\%).

Passo 4

Se a pergunta for a probabilidade EXATA de o intervalo entre duas ocorrências ser justamente 8 anos (isto é, nenhuma ocorrência nos 7 anos seguintes e ocorrência no 8.º ano), usa-se a distribuição geométrica discreta:
\Pr(\text{intertempo}=8)=(1-p)^{7}p=0,95^{7}\cdot0,05.
Como 0,95^7\approx0,698337, tem-se
0,698337\cdot0,05\approx0,0349169.
Ou seja, a probabilidade de o retorno ser exatamente 8 anos é aproximadamente 0,03492 (ou 3,492\%).

Passo 5

Interpretação e conclusão didática (como falar na prova):
  • O tempo de retorno de 20 anos é uma média (valor esperado). Não implica que o evento não possa aparecer em intervalos menores que 20 anos. A variabilidade é grande.
  • Encontrar o evento novamente após 8 anos NÃO é impossível nem tão extraordinário: a chance de ter pelo menos uma ocorrência em 8 anos é cerca de 33{,}7\%. Logo, observar um intervalo de 8 anos não fornece evidência forte por si só de que a estimativa T=20 anos esteja errada.
  • Para concluir que a estimativa está provável ou claramente errada seria necessário analisar muitas observações (vários intervalos) e fazer um teste estatístico ou recalcular p com uma amostra grande. Um único intervalo curto pode perfeitamente acontecer por acaso.

Resposta

Não é possível afirmar que o tempo de retorno estimado está errado; a probabilidade de ocorrer pelo menos uma vez em 8 anos, assumindo T=20 anos ( p=0,05), é aproximadamente 0,3366 (33,66%).

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