A vazão de ar em um sistema de exaustão industrial deve ser determinada utilizando tomadas de pressão instaladas em uma curva de 90^{\circ} de um duto horizontal. O duto possui seção retangular com altura de 0,40 \mathrm{~m} e largura de 0,15 \mathrm{~m}. O raio interno da curva é 0,30 \mathrm{~m} e o externo é 0,70 \mathrm{~m}. A diferença de pressão medida entre as paredes interna e externa da curva corresponde a: \Delta \mathrm{h}=55 \mathrm{~mm} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}. Considere que o ar está nas condições-padrão de 1,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que a massa específica da água de 1000 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine:
a) a diferença de pressão entre as tomadas, em Pascal;
b) a velocidade média do ar no duto utilizando a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente;
c) a vazão volumétrica de ar no duto.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine três coisas usando os dados do problema:
(a) a diferença de pressão entre as tomadas, em Pascal;
(b) a velocidade média do ar no duto usando a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente;
(c) a vazão volumétrica de ar no duto.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
altura da seção (no sentido radial da curva): 0,40\\ \mathrm{m}.
largura da seção (sentido perpendicular ao plano da curva): 0,15\\ \mathrm{m}.
raio interno da curva: R_i = 0,30\\ \mathrm{m}.
raio externo da curva: R_o = 0,70\\ \mathrm{m}.
diferença de coluna de água medida: \Delta h = 55\\ \mathrm{mm}\,\mathrm{H_2O} = 0,055\\ \mathrm{m}.
massa específica do ar (condições-padrão): \rho_{\text{ar}} = 1,20\\ \mathrm{kg/m^3}.
massa específica da água (fornecida): \rho_{\text{H2O}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
aceleração da gravidade (valor padrão que vou usar): g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação importante sobre o sinal: o enunciado diz apenas “diferença de pressão entre as paredes interna e externa” medida por uma coluna de água \Delta h. Para efeito de cálculo usarei o valor absoluto da diferença de pressão e tomarei
\Delta p = p_{\text{externa}}-p_{\text{interna}} = \rho_{\text{H2O}}\,g\,\Delta h,
pois, fisicamente em curvaturas, a pressão é maior na parede externa (efeito centrífugo). Vou usar esse \Delta p como a quantidade medida e positiva.
Passo 2
Converter a leitura do manômetro (coluna de água) em diferença de pressão (em Pascal) — método e explicação didática.
Fórmula de hidroestática: a diferença de pressão entre dois pontos ligados verticalmente por uma coluna de fluido de densidade \rho e altura \Delta h é
\Delta p = \rho\, g\, \Delta h,
onde:
\Delta p é a diferença de pressão em Pascal (\mathrm{Pa}),
\rho é a massa específica do fluido (aqui água) em \mathrm{kg/m^3},
g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^2},
\Delta h é a altura da coluna em metros.
Aplicando com os dados:
\Delta p = \rho_{\text{H2O}}\,g\,\Delta h = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}\times 0{,}055\\ \mathrm{m}.
Calculemos:
\Delta p = 1000\times 9{,}81\times 0{,}055 = 539{,}55\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a diferença de pressão (valor absoluto) é \Delta p = 539{,}55\\ \mathrm{Pa} (aproximadamente 540\\ \mathrm{Pa}).
Passo 3
Explicação conceitual e escolha da relação para obter a velocidade pela equação de Euler na direção normal às linhas de corrente.
Conceito físico: em escoamento curvo, para que o fluido siga curvas há uma aceleração centrípeta normal à linha de corrente. A equação de Euler (para fluxo estacionário e sem viscosidade significante) na direção normal às linhas de corrente estabelece que o gradiente normal de pressão equilibra a força de inércia centrípeta:
\partial p/\partial n é a variação de pressão na direção normal à linha de corrente (positivo no sentido que apontar para fora do centro de curvatura),
\rho_{\text{ar}} é a densidade do fluido (ar) em \mathrm{kg/m^3},
v é a velocidade local tangencial do fluido (magnitude da velocidade ao longo da linha de corrente),
R é o raio de curvatura local da linha de corrente (positivo no centro de curvatura).
Interpretação/derivação simples: essa equação é análoga à condição de equilíbrio centrípeto: massa por unidade de volume \rho precisa de força por unidade de volume \rho v^2/R, gerada por um gradiente de pressão.
No caso da curva do duto em que as linhas de corrente podem ser aproximadas por arcos concêntricos (raios r variando entre R_i e R_o), a relação diferencial torna-se
com r medindo a distância ao centro de curvatura (note que uso r como variável radial). Para obter a diferença de pressão entre as duas paredes integra-se essa expressão de r=R_i até r=R_o:
Agora uma aproximação prática (explicada): se a espessura radial do duto não força variações grandes de velocidade em r (ou se admitimos uma velocidade média praticamente uniforme ao longo da direção radial dentro da seção), podemos aproximar v(r)\approx V (velocidade média que queremos determinar). Com essa hipótese a integral fica simples:
Essa é a fórmula que vamos usar. Observações sobre a hipótese:
Ela assume que a velocidade não varia muito no sentido radial (uma hipótese razoável quando a seção não é enorme e não há separação de fluxo). É uma aproximação comumente usada para estimativas em projetos.
Se houvesse variação significativa de v(r), seria necessário conhecer o perfil v(r) e integrar explicitamente.
Portanto, relacionando com o que medimos:
\Delta p = p(R_o)-p(R_i)= \rho_{\text{ar}}\,V^2\ln\!\left(\frac{R_o}{R_i}\right).
Isolando V:
V = \sqrt{\frac{\Delta p}{\rho_{\text{ar}}\,\ln\!\left(\dfrac{R_o}{R_i}\right)}}.
Passo 4
Cálculo numérico da velocidade média V usando a fórmula obtida.
Dados numéricos que entram na fórmula (todos já indicados no Passo 1 e Passo 2):
Interpretação: a velocidade média no duto, na hipótese adotada, é cerca de 23{,}04\\ \mathrm{m/s}. Um jeito rápido de checar ordem de grandeza: com Δp ~ 540 Pa e \rho pequena (1,2), velocidades da ordem de dezenas de m/s são esperadas — o valor calculado é coerente.
Resumo das hipóteses feitas (para não ser pego de surpresa na prova):
Usei a relação hidroestática \Delta p=\rho_{\text{H2O}} g \Delta h para converter coluna de água em Pa.
Usei a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente e integrei entre R_i e R_o, assumindo que as linhas de corrente são arcos concêntricos e que a velocidade pode ser aproximada como uniforme no sentido radial (ou seja, substituí v(r) por V médio).
Desconsiderei efeitos viscosos e variações de velocidade na direção da largura (assumindo perfil aproximadamente uniforme nessa direção).
Usei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Se quiser, na prova pode justificar a escolha do modelo mencionando que a fórmula integral leva em conta o efeito centrífugo e que a hipótese de velocidade uniforme é uma aproximação aceitável para estimativa rápida.