7^{\mathrm{a}} QUESTÃO: ( VALOR \mathbf{=1,2} )
Sejam dados:
\log _{a} b=3 \quad \log _{a} c=0,2 \quad \log _{a} d=-1,2
Calcule:
\log _{\sqrt{a}}\left(b \cdot d^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá três informações numéricas sobre logaritmos na base a:
\log_{a} b = 3,\qquad \log_{a} c = 0,2,\qquad \log_{a} d = -1,2
E pede para calcular a expressão
\log_{\sqrt{a}}\bigl(b\cdot d^{2}\bigr).

Passo 2

Primeiro, escrevemos \sqrt{a} como potência de a. Lembre:
\sqrt{a}=a^{1/2}.

Passo 3

Agora usamos uma propriedade fundamental de mudança de base para potências do mesmo número: para qualquer r\neq 0 e qualquer x>0,
\log_{a^{r}} x = \frac{1}{r}\,\log_{a} x.
Uma demonstração curta: usando log natural, \log_{a^{r}} x = \dfrac{\ln x}{\ln a^{r}}=\dfrac{\ln x}{r\ln a}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\ln x}{\ln a}=\dfrac{1}{r}\log_a x.

Passo 4

Aplicando a propriedade do Passo 3 com r=\tfrac{1}{2} (pois \sqrt{a}=a^{1/2}), obtemos
\log_{\sqrt{a}} x = \log_{a^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\,\log_a x = 2\,\log_a x.
Ou seja, para qualquer x>0,
\log_{\sqrt{a}} x = 2\,\log_a x.

Passo 5

Vamos usar também propriedades básicas de logaritmos para o argumento b\cdot d^{2}. Lembre:
\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
e
\log_a(x^{k})=k\,\log_a x.

Passo 6

Aplicando essas propriedades ao interior:
\log_a\bigl(b\cdot d^{2}\bigr)=\log_a b + \log_a d^{2}=\log_a b + 2\,\log_a d.

Passo 7

Agora aplicamos que \log_{\sqrt{a}}(b\cdot d^{2}) = 2\,\log_a(b\cdot d^{2}) (do Passo 4) e substituímos a decomposição do Passo 6:
\log_{\sqrt{a}}\bigl(b\cdot d^{2}\bigr)=2\bigl(\log_a b + 2\log_a d\bigr).

Passo 8

Substituímos os valores fornecidos \log_a b=3 e \log_a d=-1,2:
\log_{\sqrt{a}}\bigl(b\cdot d^{2}\bigr)=2\bigl(3 + 2\cdot(-1,2)\bigr).

Passo 9

Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot(-1,2) = -2,4,
3 + (-2,4)=0,6,
2\cdot 0,6 = 1,2.

Resposta

1,2

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