\mathbf{9}^{\mathrm{a}} QUESTÃO: (VALOR \left.=1,6\right) Seja as funções:
f(x)=x-4 \quad g(x)=-2 x+8 \quad h(x)=x \sqrt{3} \quad m(x)=-2-x
Determine:
A taxa de variação de cada uma delas

Passo 1

O enunciado dá quatro funções e pede a taxa de variação de cada uma. As informações fornecidas são:
f(x)=x-4,\qquad g(x)=-2x+8,\qquad h(x)=x\sqrt{3},\qquad m(x)=-2-x.
O pedido é: determinar a taxa de variação de cada função (uma taxa por função).

Passo 2

O que é “taxa de variação” aqui (explicação didática): para uma função qualquer F(x), a taxa de variação média entre dois pontos x_1 e x_2 é dada pela diferença de valores dividida pela diferença das abscissas. A fórmula é
\text{taxa média}=\frac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1},é
onde x_1 e x_2 são dois valores distintos de x. Nesta fórmula:
  • F(x_1) é o valor da função no ponto x_1,
  • F(x_2) é o valor da função no ponto x_2,
  • x_2-x_1 é a variação na variável x.
Essa razão mede quanto a função varia (no numerador) por unidade que x varia (no denominador).

Passo 3

Um fato importantíssimo para funções lineares: se a função é da forma
F(x)=ax+b,
então a taxa de variação média entre quaisquer x_1 e x_2 é sempre igual a a. Vou demonstrar isso passo a passo, para você ver que não é mágica.
Calculemos a taxa média:
\frac{F(x_2)-F(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(ax_2+b)-(ax_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{ax_2+b-ax_1-b}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.
Aqui cancelou x_2-x_1 e sobrou a. Ou seja: para uma reta, a taxa de variação é constante e igual ao coeficiente que multiplica x.

Passo 4

Aplicando isso às funções do enunciado: todas são funções lineares (estão na forma ax+b), então a taxa de variação de cada uma é simplesmente o coeficiente de x.
Para f(x)=x-4 o coeficiente de x é 1. Podemos verificar com a definição: para quaisquer x_1\neq x_2,
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(x_2-4)-(x_1-4)}{x_2-x_1}=\frac{x_2-x_1}{x_2-x_1}=1.
Logo a taxa de variação de f é 1.

Passo 5

Para g(x)=-2x+8 o coeficiente de x é -2. Verificação:
\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(-2x_2+8)-(-2x_1+8)}{x_2-x_1}=\frac{-2x_2+2x_1}{x_2-x_1}=\frac{-2(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=-2.
Logo a taxa de variação de g é -2.

Passo 6

Para h(x)=x\sqrt{3} o coeficiente de x é \sqrt{3}. Verificação:
\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_2\sqrt{3}-x_1\sqrt{3}}{x_2-x_1}=\frac{\sqrt{3}(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=\sqrt{3}.
Logo a taxa de variação de h é \sqrt{3}.

Passo 7

Para m(x)=-2-x é conveniente reescrever como m(x)=-x-2. O coeficiente de x é -1. Verificação:
\frac{m(x_2)-m(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(-x_2-2)-(-x_1-2)}{x_2-x_1}=\frac{-x_2+x_1}{x_2-x_1}=\frac{-1(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=-1.
Logo a taxa de variação de m é -1.

Resposta

Taxa de variação de f: 1
Taxa de variação de g: -2
Taxa de variação de h: \sqrt{3}
Taxa de variação de m: -1

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