3^{\mathrm{a}} QUESTÃO (VALOR: 3,5 PONTOS)

Um gás ideal, inicialmente a 70^{\circ} \mathrm{C} e 250 kPa , passa pelo seguinte processo cíclico, em um sistema fechado:
Em processos mecanicamente reversíveis, ele primeiramente é comprimido adiabaticamente até 450 kPa , então resfriado a pressão constante até 70^{\circ} \mathrm{C}, e, finalmente, expandido isotermicamente ao seu estado inicial.
a) Calcule \mathrm{W}, \mathrm{Q}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} para cada um dos três processos e para o ciclo completo (2 PONTOS)
b) O ciclo atravessa exatamente as mesmas mudanças de estado do item a, porém cada etapa é irreversível com uma eficiência de 75% comparada ao processo mecanicamente reversível correspondente. Determine Q e W para cada etapa e para o ciclo completo (1 PONTO)
Considere: \mathrm{Cv}=(3 / 2) \mathrm{R} e \mathrm{Cp}=(5 / 2) \mathrm{R} e complete a Tabela a seguir com os resultados encontrados.
Ciclo (a) Ciclo (b)
\Delta \mathrm{U} \Delta \mathrm{H} Q W Q W
1-2
2-3
3-1
1-2-3-1

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal em um ciclo composto de três processos reversíveis:
1–2: compressão adiabática reversível de (P_{1}=250\\ \mathrm{kPa},T_{1}=70^{\circ}\mathrm{C}=343\\ \mathrm{K}) a P_{2}=450\\ \mathrm{kPa}.
2–3: resfriamento isobárico em P_{2}=450\\ \mathrm{kPa} até T_{3}=70^{\circ}\mathrm{C}=343\\ \mathrm{K}.
3–1: expansão isotérmica em T=343\\ \mathrm{K} de P_{3}=450\\ \mathrm{kPa} até o estado inicial.
Precisamos usar a 1.ª lei \Delta U=Q-W, as propriedades de gás ideal \Delta U=C_{v}\Delta T, \Delta H=C_{p}\Delta T e as fórmulas de trabalho para cada processo.

Passo 2

Calcular a temperatura T_{2} no fim da compressão adiabática reversível usando
T_{2}=T_{1}\Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \quad\text{com}\quad \gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}}=\frac{5/2\,R}{3/2\,R}=\frac{5}{3}.
Substituindo T_{1}=343\\ \mathrm{K} e P_{2}/P_{1}=450/250=1{,}8,
T_{2}=343\,(1{,}8)^{\tfrac{2/3}{5/3}}=343\,(1{,}8)^{0{,}4}\approx379{,}9\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Para 1–2 (adiabático reversível):
\Delta U_{1-2}=C_{v}(T_{2}-T_{1})=\tfrac{3}{2}R\,(379{,}9-343)=55{,}35\,R\approx460\\ \mathrm{J},
\Delta H_{1-2}=C_{p}(T_{2}-T_{1})=\tfrac{5}{2}R\,(36{,}9)=92{,}25\,R\approx767\\ \mathrm{J},
Q_{1-2}=0,
W_{1-2}=\int_{1}^{2}P\,dV =\frac{R(T_{2}-T_{1})}{1-\gamma} =\frac{8{,}314\,(379{,}9-343)}{1-\tfrac{5}{3}} \approx -460\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para 2–3 (isobárico em P_{2}):
\Delta U_{2-3}=C_{v}(T_{3}-T_{2})=\tfrac{3}{2}R\,(343-379{,}9)=-460\\ \mathrm{J},
\Delta H_{2-3}=C_{p}(T_{3}-T_{2})=\tfrac{5}{2}R\,(-36{,}9)=-767\\ \mathrm{J},
W_{2-3}=P_{2}\Delta V =R\,(T_{3}-T_{2})\approx8{,}314\,(343-379{,}9)\approx -307\\ \mathrm{J},
Q_{2-3}=\Delta U_{2-3}+W_{2-3}=-460+(-307)=-767\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para 3–1 (isotérmico em T=343\\ \mathrm{K}):
\Delta U_{3-1}=0,\quad \Delta H_{3-1}=0,
W_{3-1}=nRT\ln\frac{V_{1}}{V_{3}} =R\cdot343\ln\frac{P_{3}}{P_{1}} =8{,}314\cdot343\ln(1{,}8)\approx1677\\ \mathrm{J},
Q_{3-1}=W_{3-1}\approx1677\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Soma do ciclo reversível 1–2–3–1:
\Delta U_{\text{ciclo}}=460-460+0=0,\quad \Delta H_{\text{ciclo}}=767-767+0=0,
W_{\text{ciclo}}=-460-307+1677\approx910\\ \mathrm{J}, \quad Q_{\text{ciclo}}=0-767+1677\approx910\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Para o ciclo irreversível de eficiência mecânica de 75\%, a trabalho em cada etapa:
W^{\text{irr}}=0{,}75\,W^{\text{rev}}.
Como \Delta U é função de estado, mantém-se igual ao caso reversível. Então
Q^{\text{irr}}=\Delta U + W^{\text{irr}}.

Passo 8

Calculando cada trecho irreversível:
1–2: W_{1-2}^{\text{irr}}=0{,}75\cdot(-460)=-345\\ \mathrm{J}, \Delta U=460\\ \mathrm{J} \Rightarrow Q_{1-2}^{\text{irr}}=460-345=115\\ \mathrm{J}. 2–3: W_{2-3}^{\text{irr}}=0{,}75\cdot(-307)=-230\\ \mathrm{J}, \Delta U=-460\\ \mathrm{J} \Rightarrow Q_{2-3}^{\text{irr}}=-460-230=-690\\ \mathrm{J}. 3–1: W_{3-1}^{\text{irr}}=0{,}75\cdot1677=1258\\ \mathrm{J}, \Delta U=0 \Rightarrow Q_{3-1}^{\text{irr}}=1258\\ \mathrm{J}. Ciclo total irreversível:
W_{\text{ciclo}}^{\text{irr}}=-345-230+1258=683\\ \mathrm{J}, \quad Q_{\text{ciclo}}^{\text{irr}}=115-690+1258=683\\ \mathrm{J}.

Resposta

Trecho \Delta U (J) \Delta H (J) Q (J) W (J) Q^{\mathrm{irr}} (J) W^{\mathrm{irr}} (J)
1–2 +460 +767 0 –460 +115 –345
2–3 –460 –767 –767 –307 –690 –230
3–1 0 0 +1677 +1677 +1258 +1258
1–2–3–1 0 0 +910 +910 +683 +683

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